Среднее арифметическое двух величин

Gi + Oa

Среднее геометрическое п величин = у а^а^з... . а„. Среднее геометрическое двух величин = У^а^а^.

2-3. СТЕПЕНИ И КОРНИ

Примеры

п раз

а = am... а

п раз

10 = 10-10-10 ... 10 =

п нулей

= 1000. . .6

1 = а о = 1 .

-п 1

- п /--

а =Уа

53= 5.5-5= 125

105 = 10-10-10-10-10

=?= 100 ООО

51 = 5 20 = 1

5- = = 0,04

27 =27 =3

42 у^8

Действия со степенями и корнями

Примеры

(аЬс. . .) = ch с

1а\п

а'Ь'с . . . = (аЪс. . .)

2 = G-

(2.4.5)2 = 22.42.52= 1 600

23.33.43= (2.3.,4)3= 13 824

42 / 4 \2

2i-(T)-

32.33= 32+3= 35 243

= 10 -2 = 102 = 100 ;

(22)8 22-3= 2 = 64

14-9.25= Т^4.У9-125 = = 30

-P/8 2

J/ 27~ 3 - 3 У 27

К 25 = -R-

In \m n

{УЩ = V 253 = 125

2-4. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

(а + 6)2 = а2 -4- 2afc -f ь^; (а - 6)2 ~ - 2аЪ + (а + 6)3 = аз + За26 -f За62 -f бз. (с 6)3 = 3 Заь + Зсб2 63.

а2 -62= (а+ 6))(а -6); оз + 63 = (а + 6)(а2 - об + 62); оз - 63 = (а - 6)(а2 + а6 + 62).

2-5. ЛОГАРИФМЫ

Логарифм числа х при основании Л, т. е. log.v:, есть показатель степени п, в которую нужно возвести основание А, чтобы получить число х:

X = А ; logA х= п. Примф. 25 = 52; logs 25 = 2.

ае as

0,1 0.0В

0.06 0,05

0,01

аоз

0.02

0J)1

е=2,7Ш.-.

А

100 ВО

ВО 50 Ы}

3D 20

10 в

6 5

0 12 3

Рис. 2-1. График для определения величин и е~*.

Натуральный логарифм (обозначается In х) есть логарифм числа х при основании е = 2,718*. . .5

X = е' ; Ы X = п. Пример. 4,5 = е'- 1п 4,5 =1,5.

Для определения величин и е- приводится график на рис. 2-1.

Десятичный логарифм (log х, обозначается Ig х) есть логарифм числа х при основании 10:

X = 10 ; Ig >; = п. Пример. >;= 103; Ig; = 3.

Логарифм состоит из целой части - характе-ристикии дробной части - мантиссы-

Характеристика десятичного логарифма представляет собой цифру, на единицу меньшую, чем количество знаков в целой части числа.

.* Число Е = 2,718 - . .часто встречается в радиотехнике в выражениях для затухания, заряда и разряда конденсатора, токов замыкания и размыкания в катушках, нагрева и охлаждения, тока эмиссии и т- д.

S 2-6]

Площади (S) фигур

Характеристика числа, меньшего единицы, отрицательна; число единиц в ней равно количеству нулей, стоящих влево от первой значащей цифры, включая нуль целых (например, Ig 0,45 =Т,65; Ig 0,045 = 2,65).

Для натуральных логарифмов характеристика умножается на коэффициент п = 2,3.

Мантисса находится из графика (рис. 2-2) или разыскивается в специальных таблицах.

0 0,7 0.6

t -г 3 1 5 6 7 в зю

Рис. 2-2. График для нахождения логарифма числа.

Логарифмирование позволяет упростить математические действия. Для этого числа заменяются нх логарифмами, для которых затем применяются сложение вместо умножения, вычитание вместо деления, умножение вместо возведения в степень и деление вместо извлечения корня;

Ig5.8=== lg5+ lg8

Ig об = Ig а + Ig 6 lg6

Ig o = n Ig a

lg--=lga- = -nlgo or

2 1

Ig3-lg5 lg6== 31g6 Igi = -31g4

Igr7 = ilg7

Igr8 = lg8

Для получения результатов расчета после логарифмирования производится обратное действие - потенцирование, т. е. определение числа по найденному логаришу.

Логарифм с отрицательной характеристикой и положительной мантиссой можно преобразовать в отрицательное число, и наоборот. Для этого цифру, выража10щую характеристику, в первом случае уменьшают, а во втором увеличивают на единицу. Мантиссу в обоих случаях вычи-

тают из единицы. Например: 2,5105 = -1,4895 или -6,1698 = 7,8302.

Пример 1. Ig 4,5 = 0,65 (логарифмы чисел от 1 до 10 находятся непосредственно из графика).

Пример 2. Ig 5 250 = ? Характеристика (по определению) = 3, а мантисса (по графику для X = 5,25) Л! 0,73. Отсюда tg 5 250 = 3 4--f 0,73 = 3,73.

Пример 3. In 4.5=1,5 (непосредственно. из графика).

Пример 4. In 5 250 =?

Характеристика (по определению) = Зп, а мантисса (по графику для х=-5,25) 1,7.

Отсюда In 5 250 = Зп + 1,7 = 3-2,3 + 1,7 = 8,6. Пример Ь. х = 5 250-4,5.

Значит, Ig X == Ig 5 250 -f Ig 4,5 = 3,73 + 0,65 = == 4,38.

Отсюда no графику для Ig х = 0,38 находим значение X = 2,4.

Так как характеристика равна 4, то количество знаков искомого числа равно 5. Следовательно, д: ю 24 ООО. Пример 6.

250 . * ~0,05

Ig X = Ig 250 - Ig 0,05 = 2,4 -2,7 - 0,7 = 3,7.

Следовательно, л: = 5 ООО.

2.4-(-2)-

2-6. ПЛОЩАДИ (S) ФИГУР

Квадрат

Трапеция

(окруж- =---- =

ность= ...

= 2.r=.D). +

Треугольник

(ЯУга = 0,С17гв-). -iilriil

2-7. ПОВЕРХНОСТИ (S) и ОБЪЕМЫ (V)

Куб

4л i?

Полый- цилиндр (труба)

П араллелепипед

Пирамида

/Г

£=2 (а6+ж+Ьс); V = аЬс.

Тор ( баранка )

-Д--1

бок= ( +1-полв =

= г: [К' + + г (R + 01;

2-8. УГЛОВЫЕ МЕРЫ

Углы выражаются в градусных и дуговых мерах.

Градусные меры. Единицей в этих мерах служит градус С), т. е. Уво часть прямого угла. В соответствии с этим полная окружность содержит 360°.

1° = 60 (минут>; 1 = 60 (секунд); прямой угол = = 90°.

Дуговые меры. Единицей в этих мерах служит радиан - угол, у которого длина дуги равна радиусу.

В градусной мере 1 рад = ~-= 57°1744,8 .

Угол в радианах выражается отвлеченным числом, которое дает отношение данного угла к радиану (т. е. показывает, сколько радианов содержится в данном угле).

Пересчет градусов в радианы

Угол а в радианах равен числу 0,0175, умноженному на угол в градусах (например, угол а = 20°, выраженный в радианах, равен 0,0175-20 = 0,35).

Угол а в градусах равен числу 57, умноженному на угол Б радианах (например, угол а = 1,5 рад, ц},фа-жениый в градусах, равен 57-1,5= 85,5°).

Важнейшие углы

2-9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА

Основные тригонометрические функции: синус (sin); косинус (cos); тангенс (tg); котангенс (ctg). Для острого угла

а .6

- = sin а; - = cos а; с с

- = tga; = ctg ;*

sin or = cos (90 - a); cos a = sin (90 - a); tg a = ctg (90 - a); ctg a = tg (90 - a).

Значения тригонометрических функций для важнейших углов

Значения тригонометрических функций для углов от О до 90°

График для определения тригонометрических функций приведен на рис. 2-3.

sin а, ens сс, iff сс, ctg а=f(a)

D W 20 30 W 50 ВО 70 80 а°

О 0,1 02 0 Dfi 0.S 0,6 0,7 0.8 0J3 ijj IJ iz 1.3 Ifi IS rJ7 Радианы

Рис. 2-3. График для определения тригонометрических функций.