СВЧ-цепями и металлическими экранами, собственная добротность с учетом выражений (2.91) - (2.93) в первом приближении вычисляется по формуле

0 = 1 = lil. (2.94)

Поскольку типичное значение tgA для применяемых в настоящее время материалов составляет 10--10-*, то собственная добротность диэлектрического резонатора при комнатных температурах достигает значений 10*. В отдельных случаях при температуре жидкого гелия удается получить собственную добротность порядка 105-М0 .

При решении ряда задач необходимо знать энергию, запасаемую диэлектрическим резонатором. Вычислим энергию, запасаемую в диэлектрическом резонаторе при возбуждении в нем Я-видов колебаний. В случае прямоугольного резонатора при расчете воспользуемся формулой

= А j {El + El) dxdy \ г [/ (2)fdz. (2.95)

jl/(r,a)№ =

Подставляя соотношения (2.43), (2.44) для составляющих поля Я-видов колебаний прямоугольного резонатора и вычисляя поверхностный интеграл

f(x,y)dxdy = (2.96а)

и интеграл вдоль продольной оси резонатора

Jej[/(2)№ = 6LG, (2.966)

где

1 sinZ-p cos- 2 - 2 + 2Lp + pL8j

получим

(2.97)

(2.98)

В случае цилиндрического резонатора энергия, запасаемая Яо1в-видом колебаний, рассчитывается по формуле

2я 2

=-(Т^П'jo(Pr)rdrda Bjf{z)]4z. (2.99)

о о

Входящие в это выражение интегралы по поперечному сечению и вдоль продольной оси соответственно равны

J[z)№ = 6LG,

(2.100а>

(2.1006)

/ где множитель G определяется формулой (2.97). При вычислении интегралов учтено, что

1о(х) = - 1,{ху,

jxll(ах)dx = [П(ах) - I,(ах) h{ах (2- Ю!)

Таким образом, энергия, запасаемая в цилиндрическом диэлектрическом резонаторе, равна

2. 10. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ АМПЛИТУДАМИ СВЧ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Поскольку ДИПОЛЬНЫЙ магнитный момент диэлектрического резонатора пропорционален амплитуде поля внутри резонатора Яо, важно установить связь между амплитудой Яо н амплитудой магнитного поля линии передачи, возбуждающего резонатор. Метод расчета [98] заключается в следующем.

Диэлектрический резонатор представлен эквивалентным резонансным витком тока. Равенство соответствующих параметров диэлектрического резонатора и витка определяет условия эквивалентности. Одним из них является равенство тока смещения в диэлектрическом резонаторе и тока в эквивалентном витке, т. е.

/см = /в.

Полный ток смещения в диэлектрическом резонаторе равен

, = J ids.

(2.103)

где i - ток, определяемый соотношением (2.80); S - площадь сечения резонатора вдоль продольной оси. Таким образом,

(2.104)

/см = /юво \ sEdS.

С учетом изменения поля вдоль осей у и z (причем интегрирование вдоль оси у проводится в пределах 0<г/<-) при колеба-

ниях Я-вида в прямоугольном диэлектрическом резонаторе можно получить

2я \2 e,LW

(2.105)

где множитель F определяется формулой (2.84).

При определении тока в эквивалентном витке будем считать, что ток обусловлен напряжением U, создаваемым в витке полем волновода h - -

. т. е..

(2.106)

где 5э - эффективная площадь витка. При этом ток в витке при резонансе равен

,Мах^ (2.107)

где /?э - сопротивление, определяемое из известных формул для запасаемой энергии

и сопротивления контура

где Qo - собственная добротность резонансного витка. Таким образом.

и выражение для тока в витке принимает вид

(2.108)

(2.109)

В силу условия эквивалентности /см = /в и с учетом формул (2.105), (2.109) имеем

(2.110)

Для установления в окончательном виде связи между амплитудами поля Но и учтем, что энергия, запасаемая в резонаторе, определяется соотнощением (2.97), а эффективная площадь э, определяемая из условия равенства магнитных моментов диэлектрического резонатора (2.86) и эквивалентного витка Мв = = 1в5э, равна

(2.111)

Из соотношения (2.110) с учетом (2.85) и (2.111) имеем

о^х^о-? (2.112)

где множитель q равен

(2.113)

l,62f

Для цилиндрического резонатора соотношение между амплитудами поля Но и имеет также вид (2.112), однако множитель Я равен

<7 = -о-. (2.114)

Из соотношений (2.112) -(2.114) видно, что с помощью диэлектрического резонатора можно получить очень большую концентрацию СВЧ магнитного поля. Это является необходимым как для СВЧ спектроскопии, так и для технических применений [46].

2. 11. ДВОЙНЫЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ

Двойной диэлектрический резонатор представляет собой систему (рис. 25), состоящую из двух резонаторов, расположенных соосно на некотором расстоянии [47-48]. Практическое значение их проявляется в создании температурно стабилизированных резонаторов и в обеспечении частотной перестройки в полосе порядка 20%.

Приближенный анализ [49] двойных диэлектрических резонаторов, основанный на использовании метода возмущений, дает простые расчетные формулы для резонансной частоты при небольших расстояниях между отдельными резонаторами и обычно выполняется при следующих упрощающих предположениях:

1. Частота двойного диэлектрического резонатора определяется как частота одиночного резонатора с диэлектрической проницаемостью 61, магнитными боковыми стенками и воздушным объемом At), возмущающим его поля.

2. Возмущающий объем мал и возмущающие поля вне объема малы.

Из теории возмущений известно, что резонансная частота резонатора /р в отсутствие возмущающей неоднородности связана с резонансной частотой резонатора f при наличии возмущений соотношением

-, (2.115)

где Ео - невозмущенное электрическое поле; Е - возмущенное поле в объеме Аи; We - энергия, запасаемая в невозмущенном резонаторе.

при вычислении (2.115) воспользуемся приближенным (при G=l) выражением (2.101) для энергии, запасенной в резонаторе. Положив Е=Ео внутри объема Av, центр которого совпадает с координатой 2=0, имеем

tEEdv =

(2.116>

9300,

850

Рис. 25. К анализу двойного диэлектрического резонатора.

6 9 d.MM

Рис. 26. Зависимость резонансной частоты двойного диэлектрического резонатора от расстояния между одиночными резонаторами.

Подставляя (2.101) и (2.116) в уравнение (2.115) получи

м

f - 4L

В приближении -т- --J имеем окончательно

1 +

(2.117)

(2.118)

Сравнение экспериментальной зависимости резонансной частоты двойного резонатора от расстояния между отдельными резонаторами (рис. 26) и резонансной частоты, рассчитанной согласно (2.118), показывает, что только при малых расстояниях между отдельными резонаторами d<L соответствие расчета и эксперимента удовлетворительное. В случае, когда на расстояние между отдельными резонаторами не накладывается ограничение d<L, анализ двойного диэлектрического резонатора и получаемые результаты более громоздки. Анализ выполняется решением уравнений Максвелла при соответствуюш,их граничных условиях. Основным при этом является допуш,ение о расположении двойного резонатора в запредельном волноводе с магнитными боковыми стенками. Решение задачи в этом приближении приводит

48] к характеристическому уравнению, идентичному для пло-ких прямоугольного и цилиндрического резонаторов.

= РЛД

1 +th

(2.119)

,Используя его, можно рассчитать резонансную частоту двой-joro диэлектрического резонатора при произвольном расстоянии ежду отдельными резонаторами и симметричном распределении доля внутри диэлектрического резонатора, т. е. при колебаниях ,§ида Ниб в прямоугольном резонаторе и колебаниях вида Яо1в цилиндрическом диэлектрическом резонаторе.

2. 12. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

. Для изготовления диэлектрических резонаторов используют обычно кристаллы двуокиси титана ТЮг (рутил) и титаната <5*ронция ЗгТЮз. Двуокись титана представляет собой кристалл

с тетрагональной структурой. Диэлектрическая проницаемость монокристалла рутила имеет анизотропию с осевой симметрией. При комнатной

- !

,4>

т

о

Рис. 27. Температурная зависимость диэлектрической проницаемости рутила.

Рис. 28. Температурная зависимость тангенса угла потерь рутила.

И - соответственно па-

температуре £jj=180, 8 , =84 (е раллельная и перпендикулярная кристаллической оси составляющие тензора диэлектрической проницаемости). Диэлектрическая проницаемость поликристалла рутила - порядка 80 при комнатных температурах. Титанат стронция является изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью при ком-ватных температурах порядка 150-300 [34].

Основным недостатком диэлектрических резонаторов, изготовленных на основе названных материалов, является сильная температурная зависимость диэлектрической проницаемости и угла потерь (рис. 27, 28) [34]. Температурная зависимость диэлектрической проницаемости определяет и температурный уход резонансной частоты диэлектрического резонатора, который