оси X, порождает составляющие высокочастотной намагниченности как вдоль оси х, так и вдоль оси у (рис. 1).

Из формул (1.5), (1.6) видно, что зависимость компонент тензора восприимчивости от частоты имеет особенность в области частоты 0)0. при cl) = cuo компоненты тензора обращаются в бесконечность. Это является следствием пренебрежения потерями, которые, конечно, всегда есть в реальной среде. Частота соо = = (Хо7Я, называется частотой ферромагнитного резонанса. При расчетах чаще всего бывает удобно пользоваться значением циклической частоты, выраженным в мегагерцах; тогда практическая формула для частоты ферромагнитного резонанса имеет вид

f = 3,5- 10~Я; \а1м\ = 3,5Я; \а1см\. (1.10)

Магнитная восприимчивость по отношению к полю с круговой поляризацией

Волну, магнитная составляющая которой имеет компоненты ha:, hy и в общем случае эллиптически поляризована, можно представить как суперпозицию волн, магнитные составляющие которых \\+, h имеют правую и левую круговые поляризации в плоскости хоу

=/il.=F/g, (1.11)

где Ij. и \у - единичные векторы.

Тогда для составляющих \\х и hy из выражения (1.11) получаем

h =-/1 (ft+-ftj.

(1.12)

Подставляя (1.12) в (1.4), для компонент высокочастотной намагниченности т^с и Шу находим

т

(1.13)

Учтено, что при малых расстройках со==шо и соответственно

Используя выражение (1.13), для амплитуды вектора высокочастотной намагниченности m = + Шу получаем

ni = 2xft+(l,-/g.

(1.14)

Магнитную восприимчивость по отношению к полю с правой круговой поляризацией определим с помощью соотношения

m==X+h; (1.15)

тогда с учетом (1.11) и (1.15) имеем

(1.16)

Таким образом, в общем случае эллиптической поляризации поля переменная намагниченность, как это следует из выражения (1.14), создается только компонентой поля, имеющей правую круговую поляризацию, причем переменная намагниченность также имеет круговую поляризацию с правым вращением. При этом восприимчивость по отношению к полю с правой круговой поляризацией является скалярной величиной, определяемой выражением (1.16).

1. 2. РЕЗОНАНСНАЯ ЧАСТОТА

Зависимость резонансной частоты от формы резонатора

Рассмотрим ферритовый резонатор, на который воздействуют внешние магнитные поля, при этом магнитные поля внутри резонатора отличаются от внешних. Этому отличию внешних и внутренних полей можно дать следующее объяснение.

При помещении ферритового резонатора в магнитное поле магнитные моменты как внутри резонатора, так и на его поверхности ориентируются вдоль направления поля. Ориентированные магнитные моменты на поверхности резонатора как бы являются магнитными зарядами, между которыми создается размагничивающее поле, направленное навстречу внешнему магнитному полю.

Строгий учет поверхностных эффектов требует решения соответствующей граничной электродинамической задачи. Однако если резонатор ограничен поверхностью второго порядка - эллипсоидом, то, как известно из магнитостатики [4], магнитное поле внутри такого эллипсоида, помещенного в однородное постоянное поле, также однородно. Размагничивающее поле пропорционально намагниченности феррита, поэтому для внутреннего поля ферритового эллипсоида будет справедливо выражение

. =0-pa3 = 0--VW , (1.17)

где Яо - внешнее постоянное магнитное поле; N - коэффициент, который называют размагничивающим фактором.

Так как ферритовый резонатор имеет малые размеры по сравнению с длиной электромагнитной волны, можно воспользоваться квазистатическим приближением и записать для внутренних высокочастотных полей соотношения типа (1.17). Тогда для суммы постоянного и высокочастотного полей внутри резонатора будет справедливо векторное выражение

(Н. + h.) =: (Н, + h) - NfA,

где N - тензор размагничивающих факторов.

Если оси эллипсоида совместить с осями системы координат, *->

то Л' будет диагональным тензором, т. е. для установления соотношений между внутренними и внешними полями необходимо знать только три размагничивающих фактора. Пусть, например, постоянное магнитное поле направлено вдоль оси 2 (и с ней совмещена ось эллипсоида), а высокочастотное магнитное поле действует в плоскости хоу (с осями X п у совпадают две другие оси эллипсоида). В этом случае магнитные поля внутри эллипсоида описываются системой равенств

(1.19)

где Nx, Ny и Nz - размагничивающие факторы по соответствующим, осям. Если рассматривается эллипсоид вращения и постоянное магнитное поле направлено вдоль оси вращения, например оси 2, то в силу осевой симметрии Nx = Ny=Nj, где у-поперечный размагничивающий фактор.

Резонансную частоту ферритового резонатора определим как частоту свободной прецессии в отсутствие магнитного поля СВЧ. Полагая h = 0 и lVl = Mo + me<*° в выражении (1.18), подставим значение суммарного внутреннего магнитного поля в уравнение Ландау-Лифшица (1.1) и после простых преобразований получим

/сО(,т = [j,qV (М x Л'т + Н,- x т).

(1.20)

Здесь учтено, что Мц x = 0.

Проектируя уравнение (1.20) на оси декартовой системы координат, запишем систему уравнений

М-оТ (Я; + yVMo) - 1\т^ = 0;

(1.21)

т^ = 0.

Из условия совместности системы, т. е. из условия равенства нулю ее определителя, находим выражение для резонансной частоты

о = loVie, + W (Я, + NM)]\ (1.22)

ражения (1.17) для поля Я, получим формулу резо-

Таблица 1

Раэмагничивающие факторы и резонансные Размагничи ферритовых резонаторов

Для ферритового резонатора в форме эллипсоида вращения

o = oVfЯo + (Л^т-г)Л^ol (1-24)

Частным случаем эллипсоида, у которого все три оси равны между собой, является сфера, а так как размагничивающие факторы определяются соотношениями осей эллипсоида, то для сферы размагничивающие факторы равны, т. Q. Nx = Ny=Nz=\ тогда формула Киттеля для сферы принимает вид

о = }*оТЯо- (1.25)

Значения размагничивающих факторов для образцов в форме тонкой пластины, сферы, длинного цилиндра и тонкого диска приведены в табл. 1. Если сфера, как отмечалось, является частным случаем эллипсоида, то пластину, цилиндр и диск можно рассматривать как предельные случаи эллипсоида, поэтому на них распространяется решение, полученное с помощью размагничивающих факторов.

Влияние кристаллографической анизотропии на резонансную частоту

Высокодобротные ферритовые резонаторы обычно изготовляют из монокристаллов ферритов, которые обладают ярко выраженной магнитной кристаллографической анизотропией, т. е. зависимостью магнитных свойств кристалла от углов между приложенными магнитными полями и осями кристаллической решетки.

Для того чтобы учесть анизотропию, можно к внутренним магнитным полям ферритового резонатора прибавить некоторое' эффективное поле Наш воздействие которого на намагниченность эквивалентно влиянию магнитной кристаллографической анизотропии.

Эффективное поле анизотропии пропорционально намагниченности и определяется соотношением

(1.26)

где yVaH - тензор размагничивающих факторов анизотропии.

Таким образом, поле анизотропии при определении резонансной частоты ферритового резонатора формально учитывается также, как и размагничивающее поле, введенное при рассмотрении влияния формы резонатора.

Эффективное поле кристаллографической анизотропии значительно меньше внутреннего постоянного магнитного поля резонатора, однако поле анизотропии сильно зависит от температуры. От температуры также зависит намагниченность насыщения феррита, так что температурная нестабильность резонансной частоты ферритового резонатора, в общем случае определяется зависимостью от температуры как намагниченности насыщения, так и поля анизотропии.

Ранее было показано, что резонансная частота ферритового резонатора в форме сферы не зависит от намагниченности насыщения. Рассмотрим теперь, как следует ориентировать кристалл, из которого изготовлен сферический резонатор, чтобы исключить влияние на резонансную частоту поля анизотропии.

Пусть ферритовая сфера ориентирована так, что векторы Но и Мо лежат в кристаллографической плоскости (НО) и образуют угол в с осью решетки [001]. В этом случае вычисление поля анизотропии и учет этого поля при определении резонансной частоты приводят к формуле [6]

W,+Ai(2 sine-3sin2e)

я -4-(2

.4sine - sin 26

(1.27)

где -первая константа анизотропии. Опуская в этой формуле малый член порядка {KJMof, запишем ее в виде

Н1+H,IU-5sin@~sm2@

(1.28)

Полагая выражение в круглых скобках равным нулю, получим уравнение

15sin2 2e + 20sine- 16 = 0,

решение которого 9 = 29°40.

Таким образом, если сферический резонатор из монокристалла феррита ориентирован так, что направление постоянного магнитного поля составляет угол 2940 с осью [001] в плоскости (ПО), то поле анизотропии не оказывает влияния на резонансную частоту, которая в этом случае определяется по формуле (1.25). Способы ориентации сферического резонатора для исключения температурной зависимости резонансной частоты рассмотрены в работе [12].

1. 3. МАГНИТОСТАТИЧЕСКИЕ ВИДЫ КОЛЕБАНИИ

Прецессия намагниченности ферритового резонатора, характеризующаяся однородным распределением фазы и амплитуды высокочастотной намагниченности по объему резонатора (однородная прецессия), является основным видом колебаний резонатора. Однако возможны и высшие виды колебаний, характеризующиеся неоднородным распределением амплитуды и фазы высокочастотной намагниченности по объему резонатора (ана-.югично распределению амплитуды и фазы поля для высших видов колебаний полого металлического резонатора). При определенном значении постоянного магнитного поля резонансные частоты высших видов колебаний, как правило, отличаются от резонансной частоты однородной прецессии, но встречаются виды колебаний, резонансные частоты которых совпадают (вырождены) с частотой однородной прецессии.

Высшие виды колебаний возбуждаются неоднородным высокочастотным магнитным полем, хотя причиной их возбуждения может быть и неоднородность постоянного магнитного поля.

Теория высших видов колебаний разработана Уокером [7], который предложил схему классификации видов колебаний, напоминающую классификацию видов колебаний полого резонатора.

Строгое решение задачи о видах колебаний ферритового резонатора требует совместного интегрирования уравнения Ландау- Лифшица и уравнений Максвелла с учетом граничных условий на поверхности резонатора. Но если резонатор имеет достаточно