малые размеры, то можно вместо общих уравнений Максвелла использовать их частный вид-уравнения магнитостатики. В этом случае высшие виды колебаний ферритового резонатора называют магнитостатическими.

Уокер перешел от магнитного поля к магнитостатическому потенциалу Ч^, определяемому соотношением h = grad Ч^, и составил уравнения для потенциала внутри и вне резонатора, имеющего форму эллипсоида вращения. Решения этих уравнений были сшиты в соответствии с граничными условиями на поверхности резонатора и удовлетворяли требованию регулярности на бесконечности.

Учет граничных условий приводит к уравнению для собственных частот магнитостатических видов колебаний [8]

(1.29)

где 0<Д„тг<-2-- корень характеристического уравнения маг-

нитостатической задачи; индексы пит характеризуют структуру колебаний (п - 1 - число вариаций вдоль радиуса, m - число вариаций по азимуту), а индекс г - номер корня характеристического уравнения (г+ 1 - порядок корня).

Вид колебаний с индексами п = т=1, г=0 соответствует однородной прецессии; в этом случае Aiio = At и формула (1.29) переходит в формулу Киттеля (1.24) для резонатора в форме эллипсоида вращения.

Так как величины Д не выходят за указанные выше пределы, весь спектр магнитостатических колебаний ферритового резонатора расположен в интервале

(1,30)

Для сферического ферритового резонатора [9] корни характеристического уравнения для случаев п = т и определяются по простым формулам

(1.31)

Анализ показывает [9], что в этих случаях имеется только корень первого порядка, т. е. г=0.

В случае однородной прецессии (п=т=1, г=0) А=7з, и формула (1.29) переходит в формулу (1.25). Как следует из выражений (1.31), имеется магнитостатический вид колебаний (4, 3, 0), частота которого вырождена с частотой однородной прецессии.

Таким образом, переменная намагниченность ферритового резонатора может быть представлена в виде бесконечного ряда по собственным видам магнитостатических колебаний резонатора. Возбуждение собственных видов колебаний может происходить поочередно при изменении со или Но, причем возбуждение какого-либо вида колебаний происходит при благоприятной для возбуждения этого вида конфигурации неоднородного магнитного поля.

1. 4. УЧЕТ ПОТЕРЬ

В реальной ферромагнитной среде всегда есть потери, связанные с преобразованием энергии прецессирующих спиновыхмагнитных моментов в тепловые колебания кристаллической решетки, т. е. энергия спиновых магнитных моментов частично расходуется на нагрев среды.

Феноменологический учет потерь предполагает добавление в правой части уравнения Ландау-Лифшица диссипативного члена. Уравнение (1.1) с диссипативным членом в форме Гильберта [10] имеет вид

(1.32)

где а - безразмерный параметр, характеризующий потери.

При такой записи видно, что- это единичный вектор вдоль направления намагниченности и он векторно умножается на скорость изменения намагниченности -jf-1аким образом,

диссипативный член описывает вектор, величина которого пропорциональна параметру потерь а и скорости изменения намагниченности; он направлен так, что при его добавлении уменьшается отклонение вектора плотности намагниченности от направления постоянного магнитного поля (уменьшается угол или амплитуда прецессии). Вместо параметра а для характеристики потерь часто используют время релаксации Т, имеющее смысл времени, за которое амплитуда свободных колебаний намагниченности (угол свободной прецессии) убывает в е раз. Величина, обратная времени релаксации, называется частотой релаксации сог. Между параметром а, временем релаксации Т и частотой релаксации сОг существует соотношение

а = 4г = . (1.33)

(О

Решая уравнение (1.32) с учетом предположения о малости амплитуды высокочастотного магнитного поля, получим выражения для компонент тензора магнитной восприимчивости среды с потерями. В этом случае компоненты тензора восприимчивости будут комплексными величинами, причем, как оказывается, правильные выражения для компонент тензора восприимчивости с

учетом потерь можно получить из выражений для компонент тензора восприимчивости среды без потерь, если применить правило: всюду, где в выражениях встречается частота шо = Ло7г, ее следует заменить на комплексную частоту соо+/сйг. Применим это правило к выражениям (1.5), (1.6) и получим для среды с потерями

(1.34)

(1.35)

Если ограничиться случаем малых расстроек относительно частоты ферромагнитного резонанса ((о==соо) и рассматривать только среду с малыми потерями (ш^ <шо), то можно записать приближенные соотношения

®0+i r и ХаХ- (1.36)

С учетом соотношений (1.36) тензор восприимчивости среды с малыми потерями при малых расстройках записывается следующим образом;

X = Х/,

где X определяется выражением (1.34), а / - тензор вида

1 / О

О

1 О

о о

(1.37)

(1.38)

Представим выражение (1.34) в виде алгебраической суммы действительной и мнимой частей

х = х -iX .

(1.39)

Выделяя в (1.34) действительную и мнимую части, получим для Х' и х

(Р^м„ (cog - 0,2-0,) .

X - :~5--о- 5:--г'г^ (1. 4U)

(Mq - - (0)

(ш^ - со; - (0=) ~Ь 4(0(0

(1.41)

при уменьшении потерь до нуля частота релаксации стремится к нулю, и должна стремиться к нулю та часть магнитной восприимчивости, которая определяется потерями. Как видно из выражений (1.40) и (1.41), при уменьшении потерь до нуля стремится к нулю мнимая компонента магнитной восприимчивости х . поэтому ее называют дпссипативпой частью восприимчи-

вости, а действительную компоненту х' называют дисперсионной частью восприимчивости.

Пусть Асо = со - соо - расстройка частоты со относительно частоты ферромагнитного резонанса соц. Тогда, учитывая, что Aco/col и опуская в выражении (1.41) члены второго порядка относительно

12001-

-г

о

Рис. 2. Зависимости действительной % и мнимой х компонент магнитной восприимчивости от напряженности поля подмагничи-вання (Л}о=1700 ajCM, 2ДЯ=1,0 а/си).

малых величии Асо/сОц и со/соо, получаем

При резонансе Аа) = 0, тогда

Х; = со/2со.

(1.42)

(1.43)

Зависимость х от расстройки (по магнитному полю) имеет вид резонансной кривой (рис. 2) и совпадает с наблюдаемой экспериментально кривой поглощения при ферромагнитном резонансе. Определим ширину резонансной кривой 2AQ как удвоенную величину расстройки по отношению к частоте ферромагнитного резонанса, при которой величина х уменьшается до половины своего значения при резонансе. В соответствии с этим определением, используя формулы (1.42) и (1.43), получим

2АЙ := ЦдУ2АЯ = 2со (1.44)

Где 2ДЯ-ширина резонансной кривой по магнитному полю, Определяемая при фиксированной частоте переменного магнит-

ного ПОЛЯ и изменяющейся напряженности постоянного поля, т. е. при изменении частоты ферромагнитного резонанса. Параметр потерь 2ДЯ широко используется в теории и ее приложениях, так как он наиболее нагляден и его легко измерить.

(О

Величину 2 в знаменателе формулы (1.42) можно назвать

г

добротностью ферромагнитного резонанса Q. С учетом соотношений (1.7) и (1.44) формула для добротности записывается следующим образом:

Я. 2Ж

(1.45)

Величина в скобках в знаменателе формулы (1.42) может быть названа обобщенной расстройкой I, т. е.

о

= 2(3 = 2,

(1.46)

С учетом последней формулы и формулы (1.43) запишем окончательное выражение для %

% =

1 + 1

(1.47)

Сохраняя в выражении (1.40) только члены первого порядка малости, получаем

Аса

X =-

м

2 о

Ам \

о У

(1.48)

С учетом формулы (1.46) перепишем (1.48) в виде

Формула (1.49) дает правильный знак х', если фиксировано постоянное магнитное поле (фиксирована резонансная частота) и изменяется частота воздействующего сигнала. Если же, наоборот, частота сигнала остается неизменной, а меняется резонансная, то, как легко видеть, знак расстройки (теперь уже по магнитному полю) нужно изменить. Тогда выражение для х с учетом расстройки по магнитному полю запишется

X =Хр

где

(1.50) (1.51)

(здесь Яр - напряженность поотоянного магнитного поля, при которой частота ферромагнитного резонанса совпадает с частотой воздействующего сигнала). На рис. 2 приведена зависимость X от расстройки по магнитному полю, рассчитанная по формуле (1.50).

Подставляя выражения (1.47) и (1.49) в формулу (1.39), с учетом (1.37) получим удобное выражение для тензора магнитной восприимчивости среды с потерями

х = -

(1.52)

Следует иметь в виду, что допущения, принятые при выводе данного выражения, позволяют использовать его только применительно к резонаторам с малыми потерями (с высокой добротностью) и при малых расстройках относительно частоты ферромагнитного резонанса. В противном случае следует пользоваться общими выражениями (1.9), (1.34), (1.35).

В заключение запишем формулу для ненагруженной добротности ферритового резонатора. Для этого в формулу (1.45) подставим выражение (1.19) для поля Я, и получим

(1.53)

Экспериментальная проверка этой формулы, выполненная Картером и Фламмером [И], показала, что зависимость (1.53) подтверждается.

1. 5. ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ

Так как размеры ферритового резонатора малы по сравнению с длиной волны электромагнитного поля, создающего вынужденные колебания намагниченности резонатора, можно при электродинамическом расчете взаимодействия ферритового резонатора с полем в линии передачи представлять его как магнитный диполь с моментом, комплексная амплитуда которого [92]

(1.54)

где интегрирование ведется по объему ферритового резонатора.

Основному виду колебаний ферритового резонатора - однородной прецессии соответствует однородное распределение магнитного поля и намагниченности по объему резонатора, поэтому при вычислении дипольного момента можно интегрирование по объему заменить умножением на объем резонатора Уф

[1.55)