Главная -> Гамильтоновы циклы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 [ 128 ] 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141
Корень X Аугментальная / цепь V / 26 -гз 26 -*25 ф / Рис. 12.13. (а) Граф после удаления венгерского дерева, (б) Альтернирующее дерево и аугментальная цепь в графе из (а). Рис. 12.14. Наибольшее паросочетание в примере 2.5. в нем не лежат, получим паросочетание, не оставляющее никаких экспозированных вершин. (Заметим, что вершина х^ удалена ранее вместе с венгерским деревом.) Получающееся паросочетание, изображенное на рис. 12.14, будет, таким образом, наибольшим паросочетанием. 3. Максимальные паросочетания Рассмотрим теперь задачу о паросочетаний для общего графа G = {X, А), ребрам которого aj 6 А приписаны веса Cj. В этом разделе мы исследуем задачу нахождения совершенного паросочетания (т. е. паросочетания, в котором каждая вершина сочетается с некоторой другой вершиной), имеющего максимальный вес. Эта задача определяется соотношениями (12.2) - (12.4) с той лишь разницей, что неравенство в (12.3) должно быть заменено равенством. Во введении было объяснено, как задачи с ограничениями в виде равенств или неравенств можно сделать эквивалентными путем добавления ребер с весом - оо и искусственной вершины - в случае нечетного числа вершин. Таким образом, рассматриваемая ЗМП формулируется так: максимизировать 2=ЗЫ (12.11) при условии где 2 ;=1, Vi = l, п, (12.12) т. е. просто множество ребер, инцидентных вершине Xi, и E;G{0, 1}. (12.13) Как уже говорилось выше, условия целочисленности (12.13) не являются излишними в случае существования в графе циклов с нечетным числом ребер. Однако Эдмондс [10, 11, 12] показал, что эти условия могут быть заменены системой линейных ограничений, и доказал следующую теорему. Теорема 5 [11]. Для любого графа выпуклая оболочка решений (12.12) и (12.13) является полиэдром, определенным соотношениями (12.12), и, кроме того: (i) для каждого подмножества Sr сг Z, содержащего нечетное число вершин (скажем, Sr = 2gr + 1 с некоторым положительным целым qr), следует добавить ограничения S lj<qr, (12.14) где Аг - множество ребер порожденного подграфа (Sr) , и (ii) следует добавить ограничения у О для (12.15) всех i = 1,..., т. Ясно, что любое паросочетание из G удовлетворяет ограничениям (12.14). Не очевидно только, что эти ограничения достаточны. Мы обоснуем их достаточность конструктивно, предъявив совершенное паросочетание из G, являющееся решением задачи линейного программирования (12.11), (12.12), (12.14) и (12.15) с любым заданным вектором [с/] реберных весов. Обозначим сформулированную выше задачу линейного программирования через Р. Двойственной задачей к Р будет [8] следующая: минимизировать =S i + S?Ar (12.16) i=l Sr |
© 2024 Constanta-Kazan.ru
Тел: 8(843)265-47-53, 8(843)265-47-52, Факс: 8(843)211-02-95 |