Главная Бухгалтерия в кармане Учет расходов Экономия на кадровиках Налог на прибыль Как увеличить активы Основные средства
Главная ->  Гамильтоновы циклы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 [ 139 ] 140 141

16. Форд л., Фалкерсон Д. (1966), Потоки в сетях, Мир , М.

17. Garfinkel R. S., Nemhauser G. L. (1972), Integer Programming, Wiley, New York.

18. Glover F. (1967), Maximum matching in a convex bipartite graph, Nav. Res. Log. Quart., 14, p. 313.

19. Gordon B. E. (1971), The maximum matching problem - A comparison of the Edmonds and Balinski algorithms. Graduate School of Management, University of Rochester.

20. Ivanescu P. L., Rudeanu S. (1968), A pseudo-boolean approach to matching problems in graphs with applications to assignment and transportation problems, Theorie des Graphes, Dunod, Paris.

21. Klein M. (1967), A primal method for minimal cost flows with applications to the assignment and transportation problems, Man. Sci., 14, p. 205.

22. Konig D. (1950), Theorie der endlichen und unendlichen Graphen, Chelsea, New York.

23. Kuhn H. W. (1955), The Hungarian method for the assignment problem, Nav. Res. Log. Quart., 2, p. 83.

24. Kuhn H. W. (1956), Variants of the Hungarian method for the assignment problem, Nav. Res. Log. Quart., 3, p. 253.

25. Morrison D. R. (1969), Matching algorithms, /. of Combinatorial Theory, 6, p. 20.

26. Munkres J. (1957), Algorithms for the assignment and transportation problems, /. of SIAM {Appl. Math.), 5, p. 32.

27. Norman R. Z., Rabin M. 0. (1959), An algorithm for a minimum cover of a graph, Proc, Amer. Math. Soc, 10, 315.

28. Szwarc W. (1970), The transportation paradox. Report 199, Carnegie - Mellon University, Pittsburg, Pennsylvania.

29. Thacker B. G. (1972), Matchings in weighted graphs, M. Sc. Thesis, Imperial College, London University.

30. White L. J. (1967), A parametric study of matchings and covering in weighted graphs. Ph. D. Tnesis, University of Michigan.

31. Witzgall C, Zahn C. Т., Jr. (1965), Modification of Edmonds maximum matching algorithm, /. of Res. Nat. Bur. of Stands, 69B, p. 91.

32. Yaspan A. (1966), On finding a maximal assignment. Ops. Res., 14, p. 646.



Приложение 1

МЕТОДЫ ПОИСКА, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ДЕРЕВО РЕШЕНИЙ

1. Принцип поиска, использующий дерево решений

Основной принцип, на котором базируются методы поиска с деревом решений, состоит в разбиении начальной задачи Ро на некоторое число подзадач Р^, Р^, . . Р^ {в целом представляющих всю задачу Ро) с последующей попыткой разрешить каждую из зтих подзадач. Выражение разрешить мы понимаем так:

либо (i) найти оптимальное решение,

либо (ii) показать, что значение оптимального решения хуже, чем для полученного до зтого наилучшего решения,

либо (iii) показать, что подзадача не является допустимой.

Это разбиение описывается деревом на рис. П.1, причем вершины изображают подзадачи.

Смысл разбиения задачи Ро на некоторое число подзадач состоит в том, что или эти подзадачи проще разрешить, или они имеют меньший размер, или обладают структурой, не присущей первоначальной задаче Ро- Но, вообще говоря, все еще может оказаться, что подзадачу Pi нельзя разрешить, и эта подзадача сама разбивается на новые подзадачи Pi, Pi., . . ., Pi, как это показано на рис. П.2. Это разбиение (называемое также ветвлением), повторяется для каждой подзадачи, которая не может быть разрешена.

На любом этапе полное множество подзадач, требующих разрешения, представляется множеством концевых вершин (т. е. вершин степени 1) всех цепей, исходящих из корня дерева решений. (Корень этого дерева изображает начальную задачу Ро-) Эти вершины называются висячими вершинами, и на рис. П.2 это Pi, . . ., Pi-i, Pil, Pif, Pi+i, . . ., Ph-

Если поиск исчерпан, то очевидно, что множество подзадач, на которые разбита задача, должно представлять всю задачу. Таким образом, если задача Pi разбита на г подзадач Р^, ... м Pir, то

{Ph}U{Pu}{] {]{Pir}-{Pi), (П.1)

где {Р} обозначает множество всех допустимых решений задачи Р.



Так как соотношение (П.1) должно быть применено к каждому разбиению, то

{ 0}= и О') i О ) - висячая вершина дерева}. (П.2)

В случаях когда требуется перебрать все решения задачи Ро (а не только найти оптимальное решение), желательно уметь



Рис. П.1. Разбиение задачи Р„ на подзадачи.

Рис. П.2. Дерево после ветвления в вершине Pi-

перебирать решения с помощью вышеприведенного разбиения задачи на подзадачи и перебирать решения каждой из этих подзадач. В этом случае нужно избежать дублирования построенных решений, т. е. нужно разбивать задачу Pi на подзадачи Pjj, . . ., Ply. так, чтобы

{i.}n{ij=0 (П.З)

для любых двух подзадач Р, и Р,, для которых зф q.

Соотношение (П.З) определяет собственное разбиение задачи Pi- Хотя условие (П.З) не является необходимым для полноценного поиска с деревом решений, оно тем не менее имеет большие выгоды с вычислительной точки зрения, так как

(а) для задачи оптимизации Ро оптимальное решение является решением одной и только одной подзадачи, представляемой висячей вершиной;

(б) для задачи полного перебора объединение множеств решений подзадач, представляемых висячими вершинами, дает множество всех решений задачи Ро без дублирования.

2. Некоторые примеры ветвления

Рассмотрим задачу Pi с п переменными, в которой некоторая переменная может принимать только четыре возможных значения, скажем, а, Ъ, с ж d.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 [ 139 ] 140 141

© 2024 Constanta-Kazan.ru
Тел: 8(843)265-47-53, 8(843)265-47-52, Факс: 8(843)211-02-95