Итак, искомая функция ai=f (z) должна быть такой, чтобы пря переходе г через Zi аргумент dw/dz менялся от О до л-у, (за модулем мы не следим: это не так иажно, при изменении модуля сместятся ко точки г zs.....z ).

Рассмотрим функцию г-г,. Аргумент этой функции рашеи я ири jB<zi, ири равен нулю. Значит, аргумент функции г--Zi

при переходе z через точку Zi меняется от п до 0. .(Нам нужно от О до nyi.)

Берем другую функцию

erg (г -z,)l =

icTi при г<г,; О при Z >Zi.

В этом случае аргумент уменьшается, а нам надо, чтобы он позра-стал. Естественно взять функцию 1/(г -zi)= (г -г,) . Тогда

j - Yi npHZ<z,;

при z > Zi,

Теперь arg ipicrer, ио это все еще не то, что нам нужно. Так как аргумент производной искомой фуикдин должен увеличиться на Лу1 (вследствие поворота стороны многоугольника), умножим всю функцию на е' т. е. аргумент функции увеличиваем иа reyi:

атц

прп Z < г,; при Z > Zi.

(П1.3)

Теперь аргумент при переходе через z, меняется от О до яу и окончательно можно записать

=ei-/(.-.)b.

(П1.4)

Рассмотрим теперь другой участок оси. При переходе через точку Z2 выражение (П1.4) не меняет аргумента, равного n\L, однако аргумент производной искомой функции при г>гг должен увеличи-ватьси на луг (вследствие поворота следующей стороны многоугольника). Значит, (П1.4) есть только часть выражения для производной п следует продолжить наш подбор.

На отрезке от Za до Za касательная к W2W3 образует угол jryi-f -Нлу2, следоватьно,

aie IF = Yi + Y!

при Z2<z<Z3. Значит, к аргументу нашей функции надо добавить яуа, поэтому рассмотрим функцию

(z-z.)-(z-z,) (z-z,) (г-z.)-

При z<Z2 аргумент выражении (.П1.5) равен нулю, при zi<z<Z2 его аргумент -пуь прп z>zi -я (у^+уг).

Проверим аргументы в различных областих:

1) при z<Zi аргумент числителя равен [-ьлуг, аргумент зва-менатсля лу1-1-лу2, следовательно, аргумент всей дроби равен нулю,

(Л71--лу2)-(лу1-Н Л72) -0.

2) при Zi<z<Z2 аргумент числителя равен лу1-1-лу2, аргумент знаменателя О+луг, следовательно, аргумент частного равен лу1,

(л VI -Ь луг) - (О 4- яуг) = лу,.

3) при z>Z2 аргумент числителя равен я714-лу2, аргумент знаменателя равен О, аргумент частного лу-(-яу2-л(у 4-У2)-

Продолжая тот же процесс далее, получим в качестве производной искомой функции выражение

dw expin(Yi-1-Yi-1-- + Y..)

dz ( 2,)T.(2-Z2)1---(Z-Zjln

дающее во всех вершинах требуемые повороты.

Геометрическая картина преобразоваипя не л1змеиится, если умножим полученное выражеш1е иа любой постоянный множитель. Поэтому в качестве производной регулярной функции, дающей преобразование верхней полуплоскости иа многоугольник, берут функцию

dw С

(z-z.)(-.Р--

где С - любаи комплексная постоянная, определяемая положением хотя бы одной стороны многоугольника.

Полученная формула, имеющая большое значение в приложе-ииих к радиотехнике (для расчета устройств ОБЧ иа полосковых волноводах), носит иазваипе формула Кристоффеля - Шварца.

5. Конформное преобразование

Мы видели, что при преобразовании JoToaateHHia) с помощью регулярной функции w=F(z) \T{z)\ дает увелнченпе длины бесконечно малого элемента Az, а arg/ (z) -поворот его при преобра- Ьовании (отображении) иа плоскости W. Проведем теперь через точку 2о две кривые / и li. касательные к которым образуют с осью х углы qi и ч> (рис. .10). На плоскости W получим соответственно кривые L и Li, проходящие через точку ii)o=f (Zo). Касате.чьные к этим кривым в точке аг образуют с осью и углы, соответстаенно равные

Есш обозначпм через со аргумент F{zo). то е=<1И-со; ei-4>i4-ft). Но отсюда следует, что -ф1 = В-61, а поэтому угол между кривыми L и Ii талой же, как и между кривыми I и Л. Таким образом, при преобразовании с помощью регулярной функции углы, образо-ваииые линиями, ие1йеияются ~---~ .

Заметим еще следующее. Если иа кривой I возьмем точку г, на кривой /, точку г, и образуем Az=z-zo и AZi=Zi-Zo, то иа плоскости W получим соответственные векторы Дщ)=ш-Wq и AwiWi-Шо (рнс. 40). При этом \AwlAz\ aivsJAzi]. как было показано ранее, имеют вследствие регулярности f(z) общий предел, равный f(z).

Но это означает, что удлинение вдоль линии / и вдоль лииим при Преобразованрш на плоскость W одно и то же. Таким образом, в бес- 0iie4H0 малых треугольниках ZaZz и wWiW имеется равенство углов и пропорциональность стодои. Поэтому преобразование с помощью регулириой функции сохраняет подобие в .бесконечно малых частях.

Такое преобразованне, при котором сохраняется подооие в Оес-конечно малых частих, назьгаается кинфорлшым Итак, преобразование с помо1цью per лярной функции есть конформное преобразование

Рнс. 10. Конформность преобразования с помощью регулярной функции.

Однако преобразование mj=j(z-j) также с помощью регулярной функции угол при вершлне z=l величиной в л/2 переводит в угол величиной п, т. е. равенство углов здесь не сохранилось. И нетрудно установить причину этого.

1Мы доказали, что угол поворота касательной есть аргумент производной. Однако есть одно комплексное число, аргумент которого не имеет определенного значения. Это число -нуль.

Итак, если f (zo)=0тo аргумент производной не имеет определенного значения и конформность преобразования может нарушаться. Преобразование с помощью регулириой функции будет конформным везде, кроме точек, где производная от функции обращается Б нуль. В нашем примере производная функции w=]{z-j) в точке z=j действительно обращается в нуль.

6. Приложения конформного преобразования в теории электрических полей

Мы отмечали, что потенциал какого-либо плоского поля являегся гармонической функцией и потому может рассматриваться как ве-щественнаи часть некоторой регулярной функции. Вместе с тем было показано, что преобразование с помощью регулириой функции не меняет значения потенциала в соответственных точках. Эти факты и лежат в основе многочисленных приложений комплексной пере-мениой.

Дли ряда простейших электрических полей (поле точечного заряда, поле идеального плоского конденсатора) мы легко можем выписать значения как потенциала в любой точке, так и его силовые, и эквипотенциальные лпнии. 270

Будем искать регулярную функцию, преобразующую какое-либо известное поле иа -поле излучаемое. Если такую функцию нам удастся найти, то тем самым мы сумеем установить и потенциал в каждой точке, и линии равного потеицнала, и силовые лпнии этого нового поля (так ак линии равного потенциала п^еходят снова ъ линии равного потенийалаГа силовые лииип -в силовые лиииГ).

В качестве примера определим напряженность пол^, образованного двумя заряженными бесконечиымл пластинами, сходящимися под углом ю и разделеиныш! изолятором (рис. !Н,а).

Рис. П. Преобразование заряжениы?: осей плоскости Z в плоский конденсатор плоскости W.

В сечении, перпендикуляитом к этим пластинам, получим плоское поле. Выберем одну из прямых сечения за вещественную ось, а положение изолятора - за начало координат.

Прежде Есего развернем заданный угол на верхнюю полуплоскость Zi. Этот угол развертывает степенная функций, т. е. 21 = 2 ** (рис. 11,6). Поле в плоскости Z нам неизвестно. Преобразуем его в другое, известное иам поле, т. е. в поле плоского конденсатора. Значит, надо перевести верхнюю полуплоскость в полосу.

Мы знаем -из предыдущего, что функция w - t преобразует -полосу 0<у<я плоскости Z в верхнюю полуплоскость плоскости W (рис. П.г). Поэтому в преобразующей функц-ии тюмеиием местами W к. г. При этом верхнюю полуплоскость плоскости Zi в полосу 0<v<jt плоскостп W преобразует функция г,=е^ лп ш=1п Итак, окончательно функция

!J = In г = - In г

(П1.7)

преобразует голе заданного угла а плоскости Z в поле ндеального конденсатора плоскости W. Значения потеипиала qio и (pj на обкладках конденсатора при этом сохраняются. Началу координат плоскости Z (положению нзолято а) соответствует ъ плоскости W бесконечно удгцичгиая точка.

ПогемИиал -зто одно из решений уравиеиия Лапласа. Уравнение Лапласа для плоской задачп в декартовых координатах записывается следующим образом:

fl>

да dv

В поле идеального коидейсатора потенциал ф от координаты и не зависит, следовательно, уравнение Лапласа принимает вид Э=ф/йг= =0. После двойного интегрирования получаем ifw=Av+B. Иссле. дуем решение. При о=0 ч>,. = фо. откуда В=щ. При и=Лф,.-,4л+Ввч> следовательно, .4= (ф,-фо)/я. В окончательном виде решение заги. шем следующим образом:

- у„, = 1. + ¥.. (П1.8)

Итак, мы нашли потенциал поля идеального конденсатора, а напря. женность электрического поля - это производная по нормали с обратным знаком (нормаль у нас v). Следоватлеьио, имеем:

Так как

>1

Рис. 12. Применение конформного преобразования для расчета иа-прижеиности поля заряженных осей.

Если возьмем, d частности po=0; ф1=.100 Б; .а=я/2; Ze=l-t-2i (в этой точке будем определять напряженность поля, рис. I28J,

2. -i./2 1 - 2j-Оспобождаясь от иррациональности в знаменателе, 200 /1 + 211 40

Найдем величину и направление вектора 40 -

1 1 ; aiE £ = arctg (-1/2).

Потенциал в точке Zo найдем с помощью выражения (П1.8), предва-рительно определив координаты ее отображения в плоскости W

= о + j о = In Z 1 = 2 In I г, I + J 2 al Е г,.

Подставив значение г , имеем и, = 1п5; tt,= g л (рис. 12, ()).Ис-пользуя (П1.7), запшпем для потенциала у1-У.

¥ 10 = 4i4 =

о + 9с =

100 2я , = -..70 Б.

7. Заключение

Мы преобразовывали заданное поле иа поле идеальЬого конденсатора. Однако зачастую в качестве основного поля выбирают поле, образованное заряженной окружностью и, в частности, окружностью единичного радиуса.

В этом случае надо ставить задачу о нахождении регулириой функции, преобразующей заданную кривую в единичную окружность. Эта задача и считается основной задачей конформного преобразования.

Так как поле идеального конденсатора может быть преобразовано на верхнюю полуплоскость, а вещественная ось может быть переведена дробно-линейным преобразованием в окружность (л следовательно, верхняя полуплоскость - во виутрениость единичного круга), то все рассмотренные примеры могут ,быть приведены к указанной основной задаче.

При рассмотрении основной задачи конформного преобразования прежде всего -возиикает вопрос о возможности решения этой задачи, т. е. вопрос о существоваипп регулярной функции, переводящей заданный контур в единичную окружность, и о единственности этой функции. На этот вопрос отвечает теорема Рнмана. Если В - иехо-тораи да-ииаи одноовязная область иа плоскости Z* н zo -иекото-

* Мы исключаем случай, когда В есть вся плоскость Z или плоскость с выброшенной точкой.