Точкам Ь. El и 1(1 соответствуют изоляторы. Для данного случая углы поворота равны; лу2=п; 1гуз=-я; яу4 = =я; пуъ=-п; Я7в=л. Откуда уг=\; 73=-1; 1= = 1; Y5=-1; V =l-

Подставив значения yj и в (1.49), получим

dt, - е

(1.50)

Для определения постоянной С выразим функцию С в показательной форме С = ге . Тогда

dt:/d¥ = ire =jC. (1.51)

1,

иг а

Рис. 1.13. Приближеииое представление симметричного полоскового волновода и его конформное преобразование

При перемещении от точки =-оо к точке 5=-f-oo аргумент переменной £ изменяется на -л. Соответст-веиио в плоскости Z такое перемеи1ение соответствует 46

Изменению г на 2--Д. .Ножно записать

(1.52)

С другой стороны, при \->-±оо выражение (1.50) принимает вид dzldt,->-С/С.. Таким образом.

и окончательно

(1.53)

(1.54)

Подставив в (1.40) полученное значение С и проводя интегрирование, получим

=j2(I [i4iV Ini:--ln(r- I)]+C.. (1.55)

Из формулы (1.55) следует, что точки =±1 и =0 являются особыми точками для преобразующей функции. Поэтому при движении вдоль вещественной оси об--ход их совершаем по полуокружностям бесконечно малого радиуса (рис. 1.13, а), при этом функция z получает конечные приращения йг=±.\йЛ-Ь.Щ- Выполнив предельный переход вокруг точки -1плоскости найдем точки ±.q, являющиеся отображением вершин Лз, Л5 плоскости Z:

= -d = Iim [4 (l-,7)4n-,i+l Jl

(1.6)

Для определения постоянной Ci воспользуемся соответствием точки Лд плоскости Z с координатой Д/2 точке 1=9 плоскости

Д/2 = (1 - ,/) In,7+ In (<? - 1)]+ С,

После соответствующих преобразований получим С. = Д/2-]4[А1п,7+1п(,7~1).

Окончательно прсобра lyiomaa функция примет вид

- = i-r(l i + l)+/2. (1.57)

При Д = 0 для преобразующей функции мо*но записать [41]:

2 = j4ln(l-i:). (1.58)

Для этого частного случая сделаем расчет поля симметричного полоскового волновода. При конформном отображении система ортогональных линий первой области переходит в систему ортогональных линий второй области. Это позволяет определить напряженность поля в произвольной точке симметричного полоскового волновода, если известна величина напряженности в соответствующей точке отображенного поля.

В рассматриваемом случае три параллельные прямые, изображающие три проводящие полоски симметричного полоскового волновода в комплексной плоскости Z, переходят при конформном отображении функцией (1.58) в три проводящих отрезка вещественной оси плоскости (рнс. 1.13,а, в; при Д=0).

Обозначим через напряженность поля, создаваемую проводящими отрезками вещественной оси в произвольной точке плоскости t,. Соответственно будет напряженность поля проводящих полосок симметричного полоскового волновода в отображенной точке.

При равенстве потенциалов на проводящих полосках симметричного полоскового волновода потенциалам проводящих отрезков отображаемого поля напряженность поля симметричного полоскового волновода можно выразить через напряженность отображенного поля следующим образом (Приложение 2): -

где черта над производной указывает на то, что нужно брать сопряженную с ней величину.

Напряженность отображенного поля, как указывалось выше, определяется с помощью интеграла Пуассона для верхней полуплоскости.

В нашем случае симметричный полосковый волновод, расположенный в плоскости Z, имеет три проводящие 48

полоски с потенциалами, равными соответственно qi, Ф2 и фз (рис. 1.14).

Для определения картины по.тя симметричного полоскового волновода на нем отображается верхняя полуплоскость Im 1>0. Вещественная ось плоскости 5 при этом делится на три проводящих отрезка с потенциалами ф1, 4)2 и фз, равными соответственно потенциалам проводящих полосок плоскости Z.

Рнс. 1.14. К расчету электрического поля полоскового волновода.

Зная величину потенциала на вещественной оси g плоскости необходимо теперь вычислить распределение потенциала в верхней полуплоскости lm£>0. Зная распределение потенциала в плоскости при помощи отображающей функции (1.58) найдем распределение потенциала в плоскости Z.

Интеграл Пуассона для верхней полуплоскости имеет вид

V --T*()-rffT. (1-59)

где li и t] - фиксированные координаты точки верхней полуплоскости в которой определяется значение гармонической функции; I - координата переменной точки вещественной оси; ф(5) - заданное граничное значение гармонической функции в точке I, вещественной оси (рнс. 1.14).

Для нашего случая интеграл Пуассона принимает вид

-оо 5,

4-792 49

(1.60)

Если ил точки Mdi, Г]) (рис. 1.14) провести пунктирные прямые к изолирующим точкам (-1; +\), разделяющим проводящие отрезки вещественной оси плоскости £ (на рис. 1.13,в соответственно точки Ъ, Ы и обозначить углы, которые образуют эти прямые с положительным направлением вещественной оси через ipj, то

arctgL k= /2-fe так как j = tg

и-ctg - /S; Ь = arctg (? - е,).

Учитывая сказанное, уравнение (1.60) для потенциала произвольной точки с координатами и г) ыа плоскости £ можно записать в следующем виде:

Линии равного потенциала в последнем уравнении есть е=const.

Углы 1л и фг для очередных линий равного потенциала могут принимать различные значения от О до л. Это говорит о том, что из изолирующих точек, разделяющих проводящие отрезки вещественной оси, исходят линии равного потенциала в виде лучей. Функция ф(?1, г)) равна углу 6, умноженному на (р/п, под которым отрезок (-I; -1-1) виден из точки М(1и ц).

Отсюда делаем вывод, что геометрическим местом точек линий равного потенциала являются окружности, проходящие через точки -1 и --1, что несложно дока-50

зать. Для этого преобразуем (1.61) в уравнение окружности. Прежде из (1.61) найдем

Последнее выражение можно представить следующим образом:

Р4-V -L -

°+ gMv,J -:t/.l-°>.. --Откуда получим уравнение окружности

Й-~гЬ .\у.,1 )=cosec4..,. -M Радиус окружности /? = cosec [(f(li, т)) - л/ч ]. Координаты центра окружности - линии равного потенциала

0=0 -1

Рис. 1.15. Картина поля симметричного полоскового волновода в преобразованной плоскости.

0(0, ctg[9(gi, т|)-л/<р]). Результаты расчета картины поля симметричного полоскового волновода в плоскости £ приведены на рис. 1.15.

Для определения напряженности поля в какой-либо точке плоскости t воспользуемся известной формулой

£ = grad, = -(?,-b?,). (1.62) 4* 51