§ 1,2 Взаимная и собственная индуктивности 9

При равномерном распределении токов /i и Ij по сечениям витков справедливы соотношения

В этом частном случае взаимная индуктивность витков определяется только их геометрическими размерами и (1.12) можно представить в виде

)Ы2) АА Ал

М

n(i) nit)

Собственная индуктивность замкнутого витка определяется как отношение собственного потокосцепления к току витка. Представим виток с поперечным сечением проводника Sn в виде совокупности элементарных витков с площадями поперечного сечения Asn, которые заменим далее контурами. Магнитный поток, сцепленный с каждым элементарным витком, определяется токами как самого витка, так и множества остальных элементарных витков. Пренебрежем током элементарного витка в создании сцепленного с ним магнитного потока. Тогда магнитный поток k-ro контура с длиной tk и током определяется токами всех остальных контуров:

Воспользовавшись (1.5), получим выражение собственного потокосцепления с замкнутым витком:

¥, = -ФйД,-й. (1.14)

Собственная индуктивность замкнутого витка

зависит от его геометрических размеров и распределения в нем тока.

Б (1.12) и (1.15) предполагается, что все токи элементарных витков совпадают по фазе. В противном случае взаимная и собственная индуктивности становятся зависимыми от времени (см. § 1.3). В частном случае равномерного распределения тока по поперечному сечению витка справедливо соотношение

Aik/i = ЫтП = Д пй/ п == Д5пт/ п = Д п/*п-При этом (1.15) принимает вид

т. е. индуктивность витка зависит только от его геометрических размеров.

Пример 1.2. В двух одинаковых плоских кольцах (рис. 1.4), расположенных соосно на расстоянии h, протекают равные и постоянные

во времени токи i. Вывести формулы для собственной индуктивности каждого кольца-и их взаимной индуктивности, если плотность тока распределяется по их сечению обратно пропорционально радиусу: J=Clr, где C=const.

Решение 1. Выведем формулы для расчета собственной индуктивности кольца. Если г* и Гт - радиусы k-ro и т-го круговых контуров одного из плоских колец, то их взаимная индуктивность определяется общей формулой (1.11), которая с учетом зависимостей

Рнс. 1.4. Геометрическая модель для определения собственной индуктивности плоского кольца и взаимной индуктивности двух плоских колец

-V rl-\-rl-2r,r

и равенства

примет вид

d\k dim =rft cos 9d9d

СОЗф==С05(-Ф)

- lie

ft mCosфdф

Воспользовавшись (1.13) и (1.14) в интегральной форме и положив, что токи в каждом круговом контуре diA=(C drftj/r* и dim = = {С йгт)1гт, получим собственнов потокосцепление с плоским кольцом;

vp to ? Г Г cos fdfdrfedrm Зная полный ток плоского кольца = J dr=С In(Г2/Г1), опреде-

§ 1.3

Зависимость индуктивности от частоты

И

ляем из (1.15) его собственную нндуктивность:

i Inrjri)

COS ф dr dfjn

1 пГЧ ч'=о

/ й+4-2 со8ф

Решение 2. Выведем формулы для расчета взаимной индуктивности колец. Если и Гш(2)-радиусы А;-го и т-го круговых контуров первого и второго колец соответственно, то их взаимная индуктивность определяется общей формулой (1.11), которая примет вид

10? {1) т {2)С05ф^ф

V + 4(1) + d(2) - 2ft(l) m(2) COS Ф

По аналогии с расчетом собственной индуктивности плоского кольца взаимная индуктивность двух плоских колец согласно (1.12)

С0$ф^ф^/-й(1)Гп1<;)

Vh + + Г^,2) - 2Aft(,) А^(2) COS ф

При Л = 0 взаимная индуктивность колец равна собственной индуктивности одного кольца.

1.3. ЗАВИСИМОСТЬ ИНДУКТИВНОСТИ от ЧАСТОТЫ

В общем случае собственная индуктивность замкнутого витка зависит от его удельной электрической проводимости у и характера протекающего тока.

Рассмотрим метод расчета собственной индуктивности замкнутого витка, к которому приложено напряжение внешнего источника e{t) (рис. 1.5). Разделим виток с площадью поперечного сечения Sa

Рис. 1.5. Геометрическая модель для расчета собственной индуктивности замкнутого витка