ляющих их величин (геометрические размеры, электромагнитные параметры материала сердечника и т. д.) - внутренними параметрами катушек. Составляющие вектора внутренних параметров Х= [Х[, хг,...

Xi, ...] имеют технологический разброс относительно своих номинальных значений и являются случайными величинами. Следовательно', случайными величинами являются и значения индуктивных параметров. Пользуясь приведенными в справочнике зависимостями между индуктивными и внутренними параметрами и полагая известными статистические характеристики и допуски на значения внутренних параметров, можно рассчитать статистические характеристики индуктивных параметров.

Анализ статистических характеристик индуктивных параметров катушек преследует две основные цели:

анализ статистического распределения значений индуктивных параметров и ожидаемый процент выхода годных изделий при изготовлении;

анализ чувствительности индуктивных параметров к изменению внутренних параметров для оценки рационального ноля допусков.

Если отклонения внутренних параметров от их номинальных значений невелико, то для анализа статистических характеристик могут использоваться аналитические методы. В противном случае целесообразно использовать метод статистических испытаний.

4.6.1. Аналитический метод

Аналитические методы анализа статистических характеристик основаны на допущении о линейности зависимостей между изменениями индуктивных и внутренних параметров при малых отклонениях последних от их номинальных значений. Такие условия не снижают точности расчетов для катушек индуктивностей без магнитных сердечников, математические модели которых рассмотрены в гл. 2 и 3. Из рассмотрения математических моделей следует, что индуктивные параметры катушек без сердечнн.чов зависят от трех - пяти параметров Xt.

Обычно можно считать, что отклонения случайных величин Xi относительно своих номинальных значений х^ном симметричны, имеют максимальное Xtmax и минимальное Ximin значения до отбраковки и характеризуются нормальным законом распределения с математическим ожиданием

М [Xi] = Л'гном (гтах + Xlmin)! (4.17)

и среднеквадратическим отклонением

{Xi](Ximax - Ximin)l&- (4.18)

Если, кроме того, все внутренние параметры Xi являются статистически взаимно независимыми величинами, то числовыми статистическими характеристиками индуктивных параметров будут математическое ожидание M[L\, равное их значению нри номинальных значениях внутренних параметров Xi=xi o , и среднеквадратическое отклонение, равное

o[L]= l/2(aL/axj)-a2 [Xi] , (4.19)

где dL/dxt определяется из математических моделей катушек индуктивности.

Пример 4.4. Однослойная цилиндрическая катушка (рис, 2.7) намотана на каркасе и имеет следующие номинальные геометрические размеры: радиус каркаса Г2ном=4 мм, длина / ом=12 мм, шаг намотки /г2пом=2 мм, диаметр провода йп.вом=0,4 мм. Все геометрические параметры являются взаимно независимыми случайными величинами с нормальным законом распределения при среднеквадра-тических отклонениях а[г2]=0,2 мм, а[/]=0,5 мм, a[/i2] = 0,l мм. Определить числовые статистические характеристики индуктивности катушки: математическое ожидание M[L] и среднеквадратическое отклонение о[Ц.

Решение. Номннальное значение индуктивности катушки при номинальных значениях геометрических размеров определено в примере 2.5 (см. рис. 2.9, точка а) и равно Lbom = A1[L]= 166 нГн.

Определив по кривым рис. 2.9 значения 5L/5r2 AL/A/ 2= = 55 мкГн/м = 55 нГн/мм, rfL/rf/ AL/A/= 18 мкГн/м=18 нГн/мм и dL/rf/i2 AL/A/i2=-107 мкГн/м=-107 нГн/мм, найдем по (4.26) срсд111кваДратнчсское отклонение индуктивности катушки от номи-иалыюго значения:

о [Ц = 1/552.0,22 + (- 107)-0,12+ 182.0.52= 17 нГн.

4.6.2. Метод статистических испытаний

Метод статистических испытаний заключается в многократном расчете математической модели исследуемого объекта и последующем анализе результатов прн случайных значениях внутренних параметров. Метод напболее эффективен для анализа статистических характеристик катушек с магнитными сердечниками. Это объясняется тем, что в ряде случаев их математнческ1!е модели имеют лишь алгоритмическое описание, а сердечники характеризуются значительными отклонениями большого числа [до 15, см., например, (4.20)] внутренних параметров от их номинальных значений.

Рассмотрим применение метода статистических испытаний для анализа катушек с составным сердечником. Статистический анализ катушек других типов аналогичен. На рис. 4.18, а показан составной сердечник, две части которого А и Б соединены внахлест. Геометрические размеры этих частей обозначены соответствующими индексами, например Cj и с,£или с . Сбознячения с двойным индексом позволяют сократить число математических выражений. Использование всех величии с индексами А определяет смысл математического выражения для части Л, а с индексом 5 -для части Б сердечника.

Без учета индуктивности рассеяния статистические характеристики индуктивности катушки определяются статистическими характеристиками магнитной проводимости Ум составного сердечника (4.2).

Магнитная проводимость неразветвлеиных участков и В с относительной магнитной проницаемостью \1гА{Б) равиа сумме магнитных проводимостей их элементарных слоев но (4.5) с площадью поперечного сечения ds ,£j =Ci 4(£)d и длиной=2с4-

X In

8у,<:А(Б) ~~ 4

Для правого (левого) участка нахлеста, геометрические размеры которого имеют индекс п ( л ), удобнее рассчитывать не магннг-

П'М.ийУ.п /?п,с 6

Рис. 4.18. Составной сердечник, элементы которого соединены внахлест:

в - геометрическая модель; б - схема замещения

ную проводимость, а магнитное сопротивление. Для этого разделим правый (левый) участок нахлеста длнн&й /иахп1Л)=С4!1п(Лл) +4Вп Бл\ элементарные ячейки с длиной, равной воздушному

зазору б„,л). Схема замещения каждой элементарном ячейки (рис. 4.5, е) представляег собой соЕокупиость магнитных сопротивлений элементарных участков сердечника

и,сИп(л)

М.СЙГКЛ)

пПгА М Зг,(л)

Ил ПгБ З.Кл)