6.07. Приближенный расчет для умеренно больших значений R

Модифицированная теория первого приближения. В § 6.06 изложена теория первого приближения, которая справедл-ива для малых значений R, определяемых неравенством (6.06.1). В § 6.09 будут приведены расчетные соотношения для больших значений -определяемых неравенством (6.09.1). Таким образом, остается диапазон средних значений R, для которых нет достаточно точных расчетных формул. Можно использовать точные таблдцы, составленные для трансформаторов с максимально плоской характеристикой с числом секций не больше восьми (табл. 6.05.1 и 6.05.2), совместно с теорией для малых R нли с теорией для больших R, для того чтобы распространить первую на большие значения R, а вторую - на меньшие значения R -и, таким образом, лолучнть более точные решения для трансформаторов с чебышевской характеристикой в области средних значений R. Этот прием используется здесь только для теории первого приближения (малые R). Он расширяет область ее применения от верхнего предела, определяемого неравенством (6.C6.I), до умеренно больших значений R, определяемых неравенством

(6.07.1)

даже дает приемлемые результаты вплоть до квадрата этого предела:

R<

(6.07.2)

tcp. с неравенствами (6.06.1) и (6.09.1)]. Конечно, если R меньше величины, определенной неравенством (6.06.1), то нет никакой необходимости отказываться от более простой теории первого приближения (§ 6.06).

Первый этан предлагаемой модификации теории первого приближения сводится к определению коэффициентов, связывающих коэффициенты отражения Vt, которые обозначаются далее через Yi и обладают следующим свойством:

Tl \ I г,

- Tl

/ характеристикой

(6.07.3а)

1атор /с максимачьио / плоской характеристикой

Величина yi является функцией числа секций п (оно одинаково для обоих трансформаторов) и полосы пропускания ги, (относительной ширины полосы пропускания трансформатора с чебышевской характеристикой). Используя снова подстановку. IgV,- вмес-

n-f 1

то Г(, получим, что величина V Yi согласно ур-нию (6.04.10) за-(=1

меняется на XgR. Если теперь выбрать перепад сопротивлений R - 252 -

для обоих трансформаторов одинаковым, то ур-нне (6.07.3а) приводится к простому выражению:

(е11)тра„сфор атор = Tl Cg Vl) ,р, ор..=тор (6.07.36)

с макет плоской характеристикой

Таким образом, в модифицированной теории используется точное значение IgVj для трансформатора с максимально плоской характеристикой, которое определяется с помощью табл. 6.05.1 и 6.05.2. Коэффициент yi можно было бы определить из ур-ния (6.07.3) и табл. 6.06.1, но для него, удобства ради, составлена табл. 6.07.1. Все члены в первой строке этой таблицы по определению равны единице. Использование ее рассмотрено на примере, приведенном ниже.

Пределы справедливости модифицированной теории первого приближения. Если перепад сопротивлений R удовлетворяет неравенству (6.07.1) или, по крайней мере, неравенству (6.07.2), то модифицированная теория первого приближения обеспечивает достаточно высокую точность расчета, что будет подтверждено на примере I (см. также § 6.10).

Рассмотренная методика, основанная на нсиользовании точных расчетных данных, полученных для трансформаторов с максимально плоской характеристикой, дает хорошие результаты, если максимальное значение ксв в полосе пропускания будет меньше или равно ,fl + ffij), где Wq - относительная ширина полосы пропускания четвертьволнового трансформатора с чебышевской характеристикой [см. выражение (6.02.1)]. Это соображение может служить хотя и грубым, но весьма полезным критерием при определении пределов применимости модифицированной теории. Согласно определению расчет становится точным, когда jei,=0.

Пример 1. В примере / § 6.02 было показано, что четвертьвол-новы.й трансформатор с полосой пропускания Wg=l, перепадом сопротивлений У?=100 и максимальным значением ксв в полосе пропускания .меньше 1,15 должен состоять, но крайней мере, нз шести секций (и-6). Нужно вычислить нормированные сопротивления отдельных секций этого трансформатора Zi и -рассчитать максимальное значение ксв в полосе пропускания. Затем определить относительную ширину полосы пропускания Wh и нормированные сопротивлеиня секций ZJ соответствующего полуволнового фильтра.

Вначале проверим, достаточно ли мало R, чтобы трансформатор мог быть рассчитан по теории первого приближения. Используя неравенство (6.06.1), находим

(Aj =2 = 8. (6.07.4)

Таким образом, нсмодифицированная теория первого приближения не даст хороших результатов, так как заданное значение - 2S3 -

ТАБЛИЦА fi.Orr

ЗНАЧЕНИЯ для ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫХ ТРАНСФОРМАТОРОВ С ЧЕБЫШЬВСКОИ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ (МОДИФИЦИРОВАННАЯ ТЕОРИЯ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ)

продсляетш шбл. s.0j.1

Полоса пропускания W.

О

0,2 0,4 0,6 0.8 1.0 1,2 1.1 1,6 1,8 2,0

1,00000 1,03774 1,16027 1,34965 1,82608 2,58,Ж 3,99301 0,7.4454 12,45111 23,25581 32,0

1,00000 1,01235 1,04946 1,11118 1,19620 1,29292 1,37951 1,39211 1,18 0,56899 О

1,00000 0,99748 0,96935 0,97375 0,94743 0,90505 0,83778 0,72904 0,54369 0,23596 О

1,00000 0,99258 0,97026 0,93268 0,87911 О,

0,71630 0,59571 0,42589 0,17906 О

(= 1

1,00000 1,04417 1,18937 1,48033 2,01888 3,02958 5.03077 9,30719 19,21633 41,69381 64,0

1,00000 1,01861 1,07581 1,17521 1,32138 1,51479 1.73806 1,91834 1.8318S 1,02030 О

1,00000 1,00200 1,00731 1,01374 1,01702 1,00986 О 97968 0.90301 0,72848 0,35677 О

1,00000 0,99381 0,97503 0,94298 0,89639 0,83313 0,74941 0,63717 0,47546 0,21919 О

1,00000 1,05063 1,21921 1,56565 2,23202 3,М939 0,33721 12,81069 29,51655 74,08908 128,0

1,00000 1,02492 1,10279 1,24295 1,46088 1.77469 2,18942 2,64044 2,81846 1,81333 О

1,00000 1,04701 1,02757 1,0,5997 1,10036 1,14087 1,16586 1.14312 0,99755 0..54894 О

1,00000 0,99643 0,98531 0,96526 0,93387 0,88734 0,81969 0,72021 О,.15381 0,28471 О

1,00000 0,99294 0,97167 0,93590 0,88496 0,81762 0,731 0,6207.1 0,46943 0,23041 О

перепада сопротивлений R = 100 значительно больше, чем 8. Используя неравенства (6.07.1) и (6.07.2), лолучаем:

[щ) (6.07.5)

2048.

Следовательно, может быть использована модифицированная теория первого приближения, хотя при этом следует ожидать заметного, но не чрезмерного, отклонения от требуемой характеристики, так как заданное значение Л = 100 несколько больше, чем (2/ш,) =64.

Из табл. 6.05.1 и рис. 6.02.1 или из табл. 6.05.2 и ур-ния (6.05.1) можио определить значения ксв для шестисекционного трансформатора с максимально плоской характеристикой и перепадом сопротивлений iR=IDO:

Vi=V, = 1,094 l/j = l/.== 1,610 Уз = Vb = 2,892 Vj = 3,851

lgV,= 0,0391 lgVs = 0,2068 Igy,=0,4612 lgV,= 0,5856

(6.07.6)

(6.07.7)

(6.07.8)

Теперь находим значения IgV, для требуемого трансформатора с полосой пропускания 100%, умножая согласно ур-иию (6.07.36) все \gVi в выражении (6.07.6) на соответствующие значения коэффициента V из табл. 6.07.1:

IgVi= 0,0391-2,586 = 0,1 Oil g 1!=0,2068 1,293 =-- 0,2679 Ig = 0,4612.0,905 = 0,4170 Ig V4=0,5856 0,808 = 0,4733 Vj = V/,= 1,262 Vj = Vj= 1,853 8 = 5 = 2,612 v. = 2,974

Однако произведение VrV ... Vr равняется 105,4 вместо IOO. Следовательно, необходимо незначительно уменьшить значения Vt так, чтобы их произведение точно равнялось 100. Это уменьшение лучше всего произвести, умножая Vi и Vi на коэффициент (100/105,4) а 2,...,Уб-на (100/105,4) , Б общем случае, если R и R будут соответственно являться рассчитанным и заданным перепадом сопротивлений, то для п-секционного трансформатора этот масштабный коэффициент для Vj, V3.....V равен

(RIR) , а для Vi и V +, - (Д/Л')Можно показать [см. пример 2 в § 6.09 и ур-ние (6.09.2)], что этот способ пересчета, при котором масштабные коэффициенты для К, и Vn-n равны квад-- 556 -

(6.07.9)

(6.07.10)

ратному корню из коэффициентов для Vj,..., V , вызывает иезиа. чительиое увеличение полосы пропускания и практически не влияет на величину пульсаций в ней. Так как при расчете по приближенному методу обычно наблюдается небольшое сужение полосы пропускания, в то время как величина пульсаций в ней получается очень близкой к заданной нли даже лучше ее, то такой способ пересчета предпочтительнее. Вычитая 0,0038 из IgV; и 0,0076 из остальных \gVi в ур-нин (6.07.7), получаем новые значения Vij

Vi=V,= 1,251 Vs=V.= 1,821 V,= Vj = 2,566 Vj = 2,922

Затем определяем соответствующие нормированные сопротивления отдельных секций четвертьволнового трансформатора (рис. 6.02jl);

Z =I,0 Zi=Vi= 1,251 Z2- Z,Vj= 2,280 Zs = Z2V3= 5,850

Z4=Z3V4= 17,10

Zb = Z,Vb=i3,9l Ze = Z5V6= 79,94 R =Z.V,= 100.0

Отметим попутно, что до введения масштабных коэффициентов произведение ксв равнялось 105,4 вместо полученного сейчас 100. Если расхождение между уг;азаннымн двумя числами превышает 5-10%, то расчетная характеристика ие будет точно совпадать с требуемой. Это обеспечивает дополнительный контроль правильности расчета.

-Максимальные значения избыточных потерь и ксв в полосе пропускания, определяемые из ур-ния (6.02.16), табл. 6.O2.1I и vp-иия (6.02.18), равны:

g, = 0,0025 (0,011 дб) 1

Vr= 1,106.

Расчетный график ксв в зависимости от нормированной частоты Wo (или от kgillg, если имеется дисперсия) для трансформатора из рассмотренного примера приведен на рис. 6.07.1. Ширина полосы пропускания по уровню максимального значения ксв=1,11 оказалась равной 95% вместо заданной 100%-ной полосы (заметим. Что полоса равных нульсаци,й характеристики, соответствующая максимальным значениям ксв=1,065, равна 86%).

Относительная ширина полосы пропускания полуволнового фильтра с максимальным значением ксв 1,11 будет равняться по- ловине полосы пропускания соответствующего четвертьволнового 8-1 - 2S7 -

(6.07.11)