П (О = Hi (ОПг (О + Пд (О- функции П1 (О, Па (О и Пд (О представлены на рис. 8.2, г, е. В соответствии с формулами (8.1) и (8.2)

n2(0 = Y+~ 2 -b sin(2<j-l-])Q/.

sin 1(2-1-l)/2Q)/]j

2<j-fl

Кроме того, Пд (/) = т/2, так что окончательно получаем следующее выражение для функции пропускания модулирующей диафрагмы:

П(0 =

(2(j+l) I

sin(2ft--l)n I

sin (2оЧ-1)Й/

Часто употребляют комплексную форму записи ряда Фурье: f(x)=]che2 /

где

/ (. ) е

12лйх/Т

dx.cnc e (А=±1, ±2, ±3, ...).

- Т/2

Ck называют комплексной амплитудой й-й гармоники, а совокупность величин cft - комплексным спектром функции / (х). Величину си, представляющую собой модуль Сй, называют амплитудой к-й гармоники, а совокупности величин сд и фй - амплитудным и фазовым спектрами.

Пример 9. Разложить в экспоненциальный ряд Фурье периодическую функцию, изображенную на рис. 8.3 и имеющую ширину б и период повторения Т.

На интервале в один период эту функцию можно записать так: А при - й/2<х<б/2, О при 6/2<х<-6/2.

Рис. 8.3. Прямоугольная периодическая функция.

sin zjz

-ш -гл о гзс ш

Рис. 8.4. График функции (sin г)/г^

Выбирая пределы интегрирования от -6/2 до Г - 6/2, находим г^б/2 6/2

А е'* / е-* / . . . Г sin (fenfi/Г)

= Лб/Г

knd/T

Заключенная в квадратные скобки функции вида sin г/г представлен на рис. 8.4. Она осциллирует с периодом 2я, уменьшаясь по амплитуде с увеличением г и переходя через нуль в точках г = ±л, ±2п, ±3и и т. д.

Таким образом,

Аб sin (nkd/T) .

nkb/r

sin (nkl)/T) iznkxIT T nk&IT

(8.4)

Из формулы (8.3) следует, что с/, - действительная величина, поэтому для частотного представления функции f (х) достаточен лишь один (амплитудный) спектр. Так как k может принимать значения ±1, ±2, ±3 и т. д., то найденный спектр является дискретной функцией, существующей только на частотах 0=0, ±2з1/Т, ±Ап/Т, ±&п/Т и т. д. с соответствующими амплитудами:

Аб sinnfi/r Аб sin2ji6/r

пЬ/Т

Г

Ш/Г

и т. д.

На рис. 8.5 представлены спектры для различных значений Т.

Из рис. 8.5 следует, что с увеличением периода Т частота 2п/Т уменьшается, вследствие чего растет число частотных составляющих, приходящихся на единицу частоты. Иначе говоря, с увеличением периода Т линии спектра сближаются, но амплитуды частотных составляющих при этом уменьшаются. Форма частотного спектра остается неизменной, т. е. огибающая спектра зависит только от формы импульса, но не от периода повторения Т.

Разложение Фурье можно применить и к непериодическим функциям. Любая одномерная непериодическая функция / (х), удовлетворяющая уело. ВИЯМ Дирихле и интегрируемая в бесконечных пределах, может быть представлена в виде суммы бесконечного множества гармонических составляющих:

Г /2

j /(jt)e2 */dx

A2nkxlT

Заменяя период повторения функции частотой первой гармоники ( i = l/r), имеем

Их)е

.12лиАл

При предельном переходе, когда Т-*-оа, дискретные значения частот ки превращаются в текущие частоты и, а частота первой гармоники - в дифференциал, поэтому

f М= I [ J f{x)x. {-2пих) dx\ к (2пих) du.

(8.5)

где X (х) = е'*.

Внутренний интеграл выражения (8.5)

g (1и) = i Их)х. (-2пих) dx (8.6)

является преобразованием Фурье функции / (х) и обозначается Ф [/ (х)],

а внешний f {х) = j g (iu) к {2пих) du является обратным преобразованием

Фурье, обозначаемым Ф- [/ (х)]. Математические операции прямого и обратного преобраэобаний отличаются только знаком экспоненты в подынтегральном выражении.

Различие ряда Фурье и интеграла Фурье заключается в том. что ряд Фурье представляет периодическую функцию в виде суммы бесконечного числа синусоид с частотами, имеющими определенные дискретные значения, в то время как интеграл Фурье представляет непериодическую функцию суммы периодических составляющих с непрерывной последовательностью частот.

Функцию g (iu) называют комплексным спектром непериодической функции; ее можно записать в виде суммы двух функций

g (iu) = Л (и) -Ь iB (и),

или произведения

В (Ш) = g (и) е'* ).

где А (и), В {и), g (и), г|) (и) - соответственно вещественная, мнимая, амплитудная и фазовая характеристики спектра.

а

Alio

r-1/z: г-г/гп

к„......

(О

Рис. 8.S. Спектры прямоугольной периодической функции при различных периодах повторения: а -Г-1/4; б-Г-1/2, в -Г-1,