Псеобразованис Фурье

Синусоидальная функция / (л:) = sin сод;

g{u)-=in [6 (2jiu-ш) -6 (йтец+со)]

Таблица 8.2

Значения функций sine л: и sincx

2/i(z)

Значения функции -- и

2/1 (г)

Таблица 8.3

8.3. ПРОСТРАНСТВЕННО-ЧАСТОТНЫЕ СПЕКТРЫ ИЗЛУЧАЮЩИХ ОБЪЕКТОВ И ФОНОВ

Пусть имеется излучающий плоский объект с распределением энергетической яркости В {у, г). Переменные у к г представляют координаты некоторой точки объекта в прямоугольной системе координат уОг, выбранной гак, что плоскость уОг перпендикулярна заданному направлению. Применительно к объектам с некогерентным собственным излучением под энергетической яркостью понимают мощность с единицы площади излучающей поверхности' в телесном угле, равном одному стерадиану, соответствующую единичному интервалу длин волн вблизи длины волны X.

Чреобраэование Фурье функции В {у, г) запишется в виде

(8.7)

b (iu, iv) = Л В {у, г) к [-2и (иу + vz)] dydz;

V в (у, Z) = JJ {iu, iv) у. [In {иу + vz)\ dudv. (8.8>

Величины и и V, обратные периодам гармоник, описывающих распределение энергетической яркости объекта вдоль направлений у я г, называют пространственными частотами по аналогии с частотой в общепринятом смысле слова, которую получили, если бы функция зависела только от одной переменной - времени. Размерность временной частоты с-, а размерность пространственной ч'астоты - единица длины в минус первой степени.

Распределение энергетической яркости объекта можно представить как наложение бесконечного множества различных гармонических составляющих, каждая из которых характеризуется амплитудой, фазой и пространственной частотой. Такое представление двумерной функции энергетической яркости позволяет ввести в рассмотрение понятие пространственно-частотного спектра, играющего важную роль при анализе модулирующих устройств.

Рассмотрим основные различия пространственных и временных гармонических колебаний. Частоты временных колебаний изменяются в пределах от О до -[-оо, так как время не может быть отрицательным; пространственные частоты принимают значения -оо ... -\-оо.

Временные (электрические) гармоники, проходя через линейные динамические звенья, изменяют свои амплитуды и фазы, сохраняя неизменным частоты. Пространственные гармоники при прохождении через оптические элементы могут изменять как амплитуды и фазы, так и пространственные частоты. Например, если коэффициент увеличения оптического элемента [i, а величина пространственной частоты на его входе Vbx. то величина пространственной частоты на выходе элемента Vgjx = вх f. где Р = fos/L согласно обозначениям на рис. 8.7.

Пространственная частота и может быть преобразована во временную' частоту /* изменения электрического тока, как показано на рис. 8.8. В каждый момент времени участок обьекта площадью Да проецируется с помощью^

Рис. 8.7. Изменение частоты пространственной гармоники при прохождении через оптический элемент.

4>ис. s.8. Схема преобразования пространственной частоты в частоту изменения электрического тока: / - приемник излучения; 2 - объектив; 3 - плоскость расположения объекта.

оптической системы на приемник излучения. По нагрузочному резистору приемника протекает электрический ток, изменяющийся с частотой/*=vF, где V - скорость сканирования.

Пространственные частоты различных участков пространственно-частотного спектра играют разную роль в построении изображений излучающих объектов. Низкочастотные составляющие несут основную информацию о протяженных распределениях энергетической яркости, крупных деталях и равномерно излучающих участках объекта; среднечастотные составляющие пространственно-частотного спектра сигналов важны для правильного воспроизведения тонов, в то время как высокочастотные составляющие играют важную роль при построении мелких деталей, резких переходов и контуров изображений. Если составляющие с низкими и средними частотами воспроизводятся <без искажений, а высокочастотные составляющие ослабляются, то полученные -изображения плохо передают мелкие детали и резкие границы объекта.

Возвращаясь к формулам (8.7) и (8.8), заметим, что функция b (iu, iv) является комплексной функцией пространственных частот. Совокупность адодулей b (iu, iv) называют пространственно-частотным спектром функции £ (у, г). Функция b (iu, iv) представляет собой спектральную плотность функции В (у, г) и выражается прямым преобразованием Фурье. Выражение функции В (у, г) через ее спектр представляет обратное преобразование Фурье.

Часто функция В (у, г) симметрична относительно начала координат; ш этом случае, полагая г = р cos ф, = р sin ф, 2пи = w cos ф, 2nv = w sin ф щ производя подстановку новых переменных в интеграл Фурье (8.7), получаем

оо 2я

* (iw, Ф) = I I 6 (р. ф) l-pw (cos ф cos г|) -f sin ф sin\))] pdprfij). (8.9)

Обозначим гр-ф=е; 6(1ш, ф) = Ь(ш) e f; б (р, il)) = i- s (р) е' * ,

b (W) = i- I I 8(р)а (-рш cos е + пв) pdpdQ, (8.10)

b (w) = 2я I р/ (рш) s (р) dp, (8.11)