где

/ {рш)=- e-Pe+iee

- интегральное представление функции Бесселя.

Выражение (8.11) называют преобразованием Ханкеля функции s (р). Обратное преобразование Ханкеля определяется интегралом

S (Р) = I ю/п (pw) 6 (ЬУ) и'.

в (р, ф) = i е - I ш/ (рш) b (w) dw.

Если функция В (у, г) симметрична относительно начала координат, то п = О, S (р) = В (р) и в интеграл Ханкеля необходимо подставить функцию Бесселя нулевого порядка. При этом получаем

оо 00

b (w) = 2я I р/о (рш) В (р) dp: В (р) == 2л J р/о (рш) b (w) dw. Преобразование Ханкеля отличается следующим свойством:

b (wla) = 2ла J р/о (рш) В (ср) ф.

откуда следует, что при растяжении функций В в пространстве ее спектр сужается.

Если энергетическая яркость объекта изменяется не только в пространстве, но и во времени (что характерно для мерцающих и быстроперемещаю-щихся объектов), то ее описывают функцией трех переменных В {у, г, (). В частном случае, когда функция В зависит только от времени, преобразование Фурье этой функции

Ь(Г)= I B{t)e-!dt.

функция b (/*) представляет спектральную зависимость, описывающую временной спектр.

Рассмотрим теперь пространственно-частотные спектры фонов. Излучение облаков, топографических деталей рельефа земной поверхности, неоднородное излучение атмосферы, отраженное или рассеянное излучение разнообразных источников обладают той особенностью, что созданное ими поле излучения описывается лишь случайной функцией энергетической яркости, подчиняющейся некоторым статистическим законам. Поэтому выделение полезной информации об объекте, находящемся па излучающем фоне, связано с большими трудностями.

Обычно все разнообразие фонов разделяют на так называемые ансамбли (например, лесные или степные ландшафты, крупные городские массивы, сплошная облачность и т. п.), имеющие определенные статистические характеристики случайной двумерной функции энергетической яркости. Кроме того, в целях значительного упрощения математических преобразований случайную функцию энергетической яркости во многих случаях считают стационарной. Так, например, установлено,-что случайная функция, описывающая яркост-ный фон, в общем случае нестационарна. Однако в пределах небольших углов вдали от направлений на Солнце и на горизонт фон облачного неба все же можно считать стационарным [11, 18].

Особенностью случайных функций, с которыми приходится сталкиваться при расчете инфракрасных приборов, является то, что они обычно не знако-переменны, а их значения все время положительны. Однополярный характер имеют также соответствующие сигналы иа выходе приемника лучистой энергии.

Наиболее простой для математической обработки совокупностью статистических характеристик случайной функции является математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Математическое ожидание случайной двумерной функции энергетической яркости В (у, г) при наличии нескольких реализаций этой функции представляет собой среднюю функцию, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции энергетической яркости: т {у, г) = М [Вп(у, г)], где п - номер реализации.

Дисперсия случайной двумерной функции характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно математического ожидания: D (у, г)= М. [Вп (у, г) - т{у, z)F.

Корреляционная функция показывает степень связи между собой величин двумерной функции энергетической яркости в двух соседних точках с координатами {у, г) и (у' = у + Ау, г' == г + Дг):

К {(у, г) {у + Д{/, Z -f Дг)] М {{В {у, г) - т {у, г)] X [В {у + Ау, г+ \- hz)-m(y+ Ay, г + Дг)]}.

Прн Д^/ = О и Дг = О корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции. Поэтому необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции отпадает и в качестве основных характеристик случайной функции принимают ее математическое ожидание и корреляционную функцию. Если случайная функция стационарна, то ее корреляционная функция зависит только от величин Ау и Az и не зависит т у я г.

Пространственно-частотные свойства стационарных случайных функций характеризуют так называемым спектром Хинчина-Винера (Х-В), который представляет собой зависимость спектральной плотности дисперсии случайной функции от пространственной частоты. Спектр Хинчина-Винера случайной функции В (у, г) распределения энергетической яркости в пространстве находят следующим образом. Пусть случайная функция В (у, г) задана в области 1 < .Л; z < С. Преобразование Фурье этой функции

А С

Ь (и. у) = J ф J В (у, Z) к 1-2п (иу + VZ)] dz

-А -С

обладает свойством, определяемым равенством:

j \ \B(y,z)\dydzl\\b(u,v)?dudv,

~А -С -со

Т. е. интеграл квадрата рассматриваемой функции по области ее определения равен интегралу квадрата модуля спектра амплитуд по всей области пространственных частот.

Корреляционная функция {Ау, Дг) случайной функции В (у, г) определяется выражением

КБ(Ау,Аг) = пт1/4АС j j В (у, z) X

С- .оо

ХВ(у+Ау, z+Az)dydz, (8.12)

где В {у + &д, г + Дг) - комплексно-сопряженная функция с функцией В (у + Ау, г + Аг). Обратное преобразование Фурье функции b ( , v) имеет вид

В (Ау, Дг) = 1 Ь (и, V) у. [2я {иАд -\- оД-г)] dudv. (8.13)

Подставляя выражение (8.13) в (8.12), получаем

А С

/Сд(Дг/, Дг) = Ит-- Г [ В {у, г) dy dz у. (8.14)

С- -оо Л о

X Jl Г(ы, У) {-2п [и (j/ Aj/)+t; (z-rfz)]}

Так как функция В (f/, z) является квадратично интегрируемой, в уравнении (8.14) можно поменять порядок интегрирования:

1 °°

Кд(Л(/, Дг) = Ит - j j b(u, v) у {2п [wAi/-i-t>Az3}x X dudv J J В (y, z) < [-2л (uy vz)] dy dz.

j4 - С

Воспользовавшись выражением для преобразования Фурье случайной функции В (у, г), находим

Kr (Дх, Аг) = lim -- I Ь (к, v) Ь {и, v) а [2л (uAy+vAz)] dudv= л->оо 4ЛС JJ

С->оо - оо

I Ь (и, о) 12 и [2п (uAy+vAz] du dv.

= lim A-co AAC

C-*oo -OO

Предел lim 1/4ЛС \b (и, t))p = by.g (и, v) представляет собой спектр

С-.00

Хинчина-Винера или спектральную плотность дисперсии случайной функции распределения энергетической яркости в пространстве. Очевидно,

Кв = (Дг/. Дг) = I ix-B ( . I) X t2jt ( Aj/4-wAz)]rf dw;

bx.B = И fB (У' > t-2 ( Дг/ + 1Дг1 Ш d (Az),

(AC)

(8.15)

т. е. между спектром Хинчина-Винера случайной функции В {у, г) я ее корреляционной функцией существует связь, описываемая преобразованием Фурье; корреляционная функция случайной функции В (у, z) получается как обратное преобразование Фурье от спектра Х-В. На рис. 8.9 приведены для примера одномерная корреляционная функция случайной функции яркости лесного массива и ее спектр Х-В, выраженные в относительных единицах.

Формула (8.15) применима для определения спектра Х-В эргодического фонового процесса, т. е. когда корреляционная функция может быть получена