по одной реализации случайной функции В (у, г) при достаточно большой площади, в которой она задана. Для стационарных и изотропных случайных функций Hg(p);B(ii]),cmH.EB. энергетической яркости корреляционные функции и спектры Х-В выражают функциями двух переменных, обладающих круговой симметрией в системах координат (Д{/, Дг) и (и, о), что позволяет представлять графически эти функции в виде их соответствующих одномерных разрезов. Полное двумерное изображение функций получается путем вращения одномерных разрезов относительно вертикальной оси.

Можно привести примеры

Рис. 8.9. Одномерная корреляционная функция случайной функции яркости лесного массива (г) и ее спектр Хинчина - Винера (У).

о.г

функций bjj.B (и. встречающихся в практике расчета инфракрасной аппаратуры [4, 15, 19]. Для представления анизотропного облачного фона используют спектр вида

Ь (и, V) = AnAyAzD X з

X (1 + Д{/ + у^Дг) 2

где Ау я Аг - интервалы корреляции по осям у яг (расстояния, на которых корреляционная функция составляет 37% от дисперсии яркости фона D).

В полярной системе координат имеем

b (ш, у) = 2пАрЮ sin 26 X

X ll + niF(y)]

где Ay = Др cos 6; Дг = Др sin 6; F (у)= 2 (sin у sin в + +соб^ у cos2 G); Др = VAz + Aif -

радиус корреляции - величина, аналогичная интервалу корреляции.

Отклонение угла 6 от л/4 характеризует степень анизотропии фона при постоянной полосе пропускания по модулю вектора пространственных частот w.

О

16 20

О 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 W,1/m

6(Lo),[MiiBm-CM-cp~f/(1/pa0

(8.16)

10 10

u,1Jpaa

Рис. 8.!0. Спектры Хинчина - Винера небесного фона для длины волны, меньшей 2,8 мкм; / - облака с разрывами; 2 -облачное небо; 3 - небо в дымке; 4 - чистое небо.

При Ay - Аг = Др/2 (или в полярной системе при G = п/4) уравнение (8.16) приобретает вид

з

b (W) --= 2пАрЮ (1 + а^Дрг) 2,

соответствующий облачному изотропному фону. Аналогичный вид имеет формула, приведенная в [11]:

Ь (ш) = гяДрдг (1 щ,2Др2) 1, (8.17)

На высоких частотах функция (8.17) асимптотически стремится к квадратичной гиперболе b 2nDw~\ параметры которой не зависят от радиуса корреляции.

Для оценки помехозащищенности инфракрасных приборов оказывается удобным использовать спектр Хинчина-Винера эвристической модели фона [11]:

Ь^и, V) = 80АуАг (1 + 2и^Ау)- (1 + 2vAz-,

которая при Ау Ф Аг приближенно отображает анизотропию фона, а при Д{/ = Дг = р/2 соответствует квазиизотропному фону.

На рис. 8.10 представлены спектры Хинчина-Винера небесного фона для длины волны, меньшей 2,8 мкм.

8.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ МНОГОМЕРНЫМИ ФИЛЬТРАМИ

Преобразование сигналов в электронно-оптических системах производят при помощи разнообразных элементов, называемых фильтрами. Различают одномерные и многомерные фильтры. Одномерные фильтры преобразуют спектральный состав проходящего через них излучения. Многомерные фильтры служат для изменения пространственно-временной формы сигналов. Ниже рассматриваются только многомерные фильтры. К ним относятся объективы, конденсоры, диафрагмы и другие элементы, используемые для фокусирования, изменения направления, ограничения, модуляции, разделения и сложения лучей. Сигнал, несущий информацию об объекте или окружающем его фоне, представляется двумерной функцией энергетической яркости, поэтому указанные выше элементы называют также пространственными фильтрами.

Отличие пространственных фильтров от электрических состоит в том, что аргументом функций, описывающих процессы в электрических цепях, является время, которое в реальных процессах всегда больше нуля, в то время как в пространственных фильтрах аргументами функций являются пространственные координаты, не ограниченные в обе стороны от нуля. Кроме того, электрические фильтры характеризуют как амплитудными, так и энергетическими параметрами передачи сигнала, причем чаще используют описание процессов с помощью амплитудных параметров. В пространственных же фильтрах, работающих с некогерентным излучением, можно регистрировать лишь энергетические параметры сигнала. И, наконец, сигнал иа выходе электрического фильтра запаздывает во времени по отношению ко входному сигналу; в пространственных фильтрах аналогичного запаздывания (в пространстве) не происходит. Несмотря на эти различия, при теоретическом исследовании пространственных фильтров используют методы, которые применяют при исследовании электрических фильтров.

Важнейшими характеристиками многомерных фильтров являются весовая, переходная и пространственно-частотная передаточная функции. Определение этих функций дадим иа примере простейшей оптической системы, состоящей из объектива, преобразующего функцию распределения энерге-тическй яркости в плоскости объекта tjO в функцию распределения энергетической освещенности в плоскости изображения уОг (рис. 8.11).

Пусть TJo, So и у, г - коор- Рнс 8.11. К определению весовой и простран-пнряты гпптвртгтпрннп некотооой ственно-частотной передаточной функций про-динаты соответственно некоюрои стейшей оптической системы: / - плоскость точки объекта и ее идеального объекта; 2 -объектив; З - плоскость иэобра-изображения. Вследствие много- женин, численных причин (аберрация, дифракция и т. д.) изображение точки распространяется на некоторую малую область, распределение энергетической освещенности которой можно представить функцией (у, г), если рассматриваемая точка объекта находится в начале координат О, и функцией (у-Чй), (г - Р^о). если точка объекта не находится в начале координат, причем

Р = /об/f..

Функцию Е(, (у, г), описывающую распределение энергетической освещенности в изображении изолированной точки и

представляющую собой реакцию оптической системы на точечный источник, называют весовой функцией. Чтобы обойти трудность, связанную с существованием точечного источника, имеющего конечное значение энергетической яркости, вводят понятие пространственной дельта-функции (называемой также функцией Дирака):

оо при y=Q и 2 = 0; О при уфЧ или гфО. Пространственная дельта-функция отличается следующими свойствами:

я 6 (i - Уо. г - Zo) dydz = 1;

(У~Уо, Z-Zo) =

Я 6 (i/ - f/o. z - Zo) Ф {у, z) dydz = Ф {уо, Zo),

(8.18)

где Ф (у, z) - непрерывная и ограниченная функция.

В зависимости от вида весовой функции многомерные фильтры делят на стационарные и нестационарные. У стационарного фильтра весовая функция не зависит от смещения ее по осям координат; у нестационарного фильтра такая зависимость имеет место.

Функция £g {у, z) является важной характеристикой оптической системы. Зная, как оптическая система преобразует энергетическую яркость точечного источника, можно определить, как она видоизменяет функцию распределения энергетической яркости объекта, ибо последний может быть представлен в виде бесконечного числа точечных источников, имеющих энергетическую яркость, равную энергетической яркости соответствующей точки объекта.

Обозначив рг]о - у', рСо = z и представив функцию распределения энергетической яркости объекта в виде В (tJo, Со) = В* {у', г'), получим функцию распределения энергетической освещенности изображения объекта Е {у, г) в виде суммы энергетических освещенпостей изображений, полученных от различных точек объекта:

Е {у, г) = JJ В* {у, Z) £б {у -у-, г- /) dydz!. (8.19)

Соотношение (8.19) показывает, что Е (у, г) является сверткой функций и Eg:

Е (у. г)=- В** (8.20)