Пределы интегрирования (8.19) определяются границами ооъекта, т. е. пределами действительных значений В* {у, г) или полем зрения оптической системы.

Для решения уравнения (8.20) воспользуемся преобразованием Фурье. Вводя переменные л и V, являющиеся пространственными частотами, преобразование Фурье е (л, V) функции Е (у, г) можно записать так:

е (я, V) = JJ £ (у, г) а [-2п (liy + vz)] dydz; Е {у, Z) = Jje (л, V) к [2л {[\.у + vz)] d\ul\. Подставляя вместо Е {у, z) его значение согласно (8.19), находим е (1, V) = ЯИе* (у', Z) E(y-y,z- Z) X X >t [-2л (Л{/ + vz)] dydzdydz, или, используя новые переменные Y = у - у' а Z = г - z , - е (ц, V) - ЯЯе* (у', г') а [-2я (liy + vz)] X X Е^ (У, Z) к [-2л ([хУ + vZ)] dydzdydz. Полученное выражение легко приводится к виду

е ((X, V) =-- Ь* (ц, V) eg (ц, v),

т. е. преобразование Фурье функции распределения энергетической освещенности изображения объекта равняется произведению преобразования Фурье функции распределения энергетической яркости объекта на преобразование Фурье весовой функции.

Прямое преобразование Фурье функции Е^ (у, г) распределения энергетической освещенности изображения изолированной точки (весовой функции) называют пространственно-частотной передаточной функцией (ПЧПФ) оптической системы, т. е.

W (щ, Щ =fjE{y, г) e2ni(f,-f V2)

Пространственно-частотную передаточную функцию, являющуюся аналогом передаточной функции, используемой в теории автоматического управления, можно представить в виде

W (in, iv) = Р (и, V) + iQ (и, V),

или

W (in, iv) = W (n, V) e- \

где P (n, v), Q (A, v), W (л, v), Ч' (л, v) - соответственно вещественная, мнимая, амплитудная и фазовая частотные характеристики. Между этими характеристиками имеются следующие зависимости:

IF (и, V) = 1/[Р(ц, v)]2-f[Q(n, v)]2;. ¥ (n, V) = arctg

Если весовая функция осесимметрична, то амплитудную частотную характеристику находят с помощью преобразования Ханкеля:

W (со) == 2л j р/о (рсо) сорф, о

где

р^Уу+Т^; со = 2лVn+v. W ((О) в этом случае обладает симметрией вращения.

в случае, когда оптический сигнал зависит от трех переменных: пространственных координат у, г к времени 1, ПЧПФ многомерного фильтра

W(ii. iv. г|) = J J J £e (у,г,() ay dz dt.

Для того чтобы дать физическое толкование ПЧПФ, рассмотрим выражения для входного и выходного сигналов многомерного фильтра. Световой сигнал на входе фильтра фо (Ut z), как уже отмечалось ранее, можно представить в виде бесконечной последовательности пространственных дельта-функций. На основании свойства (8.18) дельта-функции имеем

Фо {У> г) = Jj6 (г/ - /И, 2 - fi) Фо (от, п) dmdn.

Для нахождения сигнала на выходе фильтра напомним, что весовая функция £g является его реакцией на сигнал в виде пространственной дельта-функции. Поэтому каждый из бесконечно малых световых сигналов

Фо (от, п) Ь {у - от, г - п) dmdn вызывает на выходе фильтра элементарный сигнал Фо (от, п) (у - т, г - п) dmdn.

Суммарный выходной сигнал

Ф1 (у. г) = JJ fig ((/ - от, Z - п) Фо (от, п) dmdn. (8.21)

Интеграл, стоящий в правой части выражения (8.21), представляет двумерный интеграл свертки, который в векторной форме записывается следующим образом:

(р) = I (р - г) Фо (г) dr. (8.22)

Производя над обеими частями равенства (8.22) преобразования Фурье, находим

fl (ш) = j е-Р J Е^ (р-г) фо (г) dT] dp.

-00 -оо

Вводя новую переменную А = р - г, имеем

f 1 (iw) = J е- Р £б (О dA J е- фо (г) dr.

-00 -оо

откуда следует, что

fi (1ю) = W (1Ю) fо (i<o),

или .

W (1Ю) = fl (i(o)/fо (i(o),

т. е. пространственно-частотная передаточная функция многомерного фильтра представляет собой отнощение преобразования Фурье выходного сигнала к преобразованию Фурье входного сигнала.

Рассмотрим реакцию оптической системы на пространственную дельта-функцию и на сигнал в виде единичного скачка. Вследствие дифракционных явлений даже идеальная оптическая система, в которой отсутствуют аберрации, дает изображение изолированной излучающей точки в виде пятна конечных размеров, энергетическая освещенность которого быстро убывает от центра к периферии. Распределение энергетической освещенности в изображении изолированной точки, даваемым совершенным прибором, описывается функцией [12] Eg {у, z) =- Е^ (4/f (n)/n=);

где д ,2 yijz; а'-половина угла при вершине конуса лучей, формирующего изображение (рис. 8.11); Я - длина волны; /f - функция Бесселя первого рода первого порядка; Е- - максимальное значение функции Eg {у, г), соответствующее значениям координат (/ = О и z = 0.

Функция {у, z) характеризует поверхность (рис. 8.12), ограничивающую объем, который называют дифракционным телом . Если функция £g (г/, z) симметрична, то ее представляют в виде одномерного разреза. Ё табл. 8.4 приведены значения EfjlE- для различных п. Функция Е^ обращается в нуль при значениях п, равных 3,83; 7,02; 10,17; 13,32; 16,47 и т. д., и имеет максимумы при следующих значениях я: 5,13; 8,42; 11,62; 14,80; 17,96 и т. д. Отношения (Е^Е- 100 при этом соответственно равны: 1,75; 0,416; 0,160; 0,078; 0,044.

Для реальных оптических систем функция £g {у, г) не имеет аналитического выражения, в связи с чем в последнее время разработаны экспериментальные методы определения этой функции либо приближенные теоретические методы, учитывающие влияние лишь сферической и хроматической аберраций.

Если в плоскости объектов имеется резкая граница между освещенной четвертью плоскости и темными остальными четвертями, т. е. если В* (у, г) равна единице при 1/>0иг>0и нулю при остальных у к г, то в соответствии с формулой (8.19):

(г/, г) = J I

о-а

Е. {у -у; г- Z) dydz.

Интегрируя у - у' ~ Y и замечая, что = -dY получаем

Eh {у, z) = j 0 (z - г') dz.

Таблица 8.4

Значения Е^ /Ея при различных п