Рис. 8.12, рованной

, Функция распределения энергетической освещенности в изображении изоли-точкн.

Рис, 8.13. К оценке свойств оптического звеиа по его ПЧПФ.

Рис. 8.12

Рис. 8.13

Функция g (г) равна величине площади сечения дифракционного тела плоскостью, имеющей ординату г (рис. 8.12).

Функцию eft, (i/, г), представляющую реакцию многомерного фильтра на единичный световой сигнал, распространенный в одной четверти, называют переходной функцией. Она аналогична переходной функции линейного звена системы автоматического управления - реакции звена на единичный скачок.

Возвращаясь к рассмотрению пространственно-частотных передаточных функций, отметим важное положение, следующее из ее математического определения. Если известен комплексный пространственно-частотный спектр сигнала на входе передаточного звена Ьвх (ill. iv) и его ПЧПФ (i(x, iv), то спектр сигнала на выходе звена

Vix V) = Ьвх ( >. V) W (t>. iv).

(8.23)

При последовательном соединении нескольких звеньев сигнал на их выходе

бвых v) = 6bx iv) П И^п (ifx, iv), (8.24)

Где m - количество последовательно соединенных звеньев. Выражение (8.24) следует непосредственно из выражения (8.23), если рассматривать выходной сигнал каждого предыдущего звена как входной сигнал последующего звена.

В большинстве случаев нас интересуют только амплитудные сигналы представляемые их амплитудными пространственно-частотными спектрами. В Этих случаях выражение (8.24) принимает вид

Ьвых№, iv)I = lbBx(ip-, iv) П H7 (iix, iv).

Пространственно-частотная передаточная функция полностью описывает передаточные свойства отдельных звеньев и всей системы передачи оптической информации. Она позволяет также синтезировать систему. При этом стремятся, чтобы кривая ПЧПФ в диапазоне используемых пространственных частот максимально приближалась к единице. Обычно для сравнения двух звеньев выбирают характерные точки на кривой ПЧПФ, соответствующие уровням 0,8; 0,5; е- = 0,37 и т. п. (рис. 8.13). Выбор того или иного уровня в качестве критерия оценки звена забисит от его назначения.

Рассмотренный математический аппарат для определения ПЧПФ дву- мерных систем справедлив только в том случае, когда эти системы линейны: и когда лучистый поток, несущий информацию об объекте, создается источником не когерентного излучения.

Пример 10. Найти выражение для ПЧПФ идеального объектива, цилиндрической линзы, диафрагмы с круглым отверстием и объектива с аберрациями.

1. Идеальный безаберрационный объектив, в котором отсутствуют дифракционные явления, представляет собой усилительное звено, весовая функция которого выражается через пространственную дельта-функцию следующим образом: Eg (г, у) -- кЬ (г, у). Очевидно,

ir{in,iv) = fej76( z)e- + rfH-

Нетрудно видеть, что W (ip-, iv) = к.

2. Ц и л и'н дрическая безаберрационная линза растягивает изображение точечного источника оптического излучения в линию. Ее весовая функция представляется в виде одномерной дельта-функции: Ей {у, г) = б ( / - j/o), где j/q - смещение по оси у.

Преобразование Фурье от весовой функции W (щ, iv) =б (v) е *.

3. Для диафрагмы с круглым отверстием поло- жим £g (р) = I; Воспользуемся преобразованием Ханкеля:

W (о) = 2л: I р/в (рш) ф,

где R - радиус круга.

Учитывая, что а [(р{о) / (рш)] = (рш) / 1 (рш) d (рш), получаем

W (ш) = 2nR [(/i {R(u)/R(u)].

4. Функция рассеяния света в аберрационном пятне реального объектива может быть аппроксимирована следующим выражением:

(nrl)

где р = 0,4769 - постоянная величина; - радиус, в пределах которого сосредоточено 50% энергии оптического сигнала. Очевидно,

ir (i(x, iv)=pj/(n/-)J е 1 rfi/je i dz.

He приводя подробного решения, напишем окончательный результат [7]::

Рассмотрим преобразование многомерными фильтрами случайных оптических сигналов. Пусть на вход многомерного фильтра с весовой функцией-{у, г) подан случайный сигнал X (у, г) с корреляционной функцией Кх {у, у', г, г') и спектральной плотностью Sx (р., v). Тогда корреляционная функция и спектральная плотность выходного сигнала соответственно равны

Kxj, (Ч. Г). S) = J J df/ d2 J J Eg (Г), {/, t, z) Eg (-r, ,y,t, z) X

- OO -OO

XKx(y,y .,z)dy dz; (8.25>

Sxi{lx,v)Sx{,v)\W(щ,iv)\.

Для определения дисперсии выходного сигнала многомерного фильтра 410Статочно в формуле (8.25) положить г) = т] и = Тогда получим

(П, Q = K (Г), Q = fj dy dz J J Eg (ri. y. L z) Eg (щ, y, г')Х

XK:,{y,y,Z,z)dy dz.

Пример 11. Определить дисперсию выходного сигнала после прохождения пространственного белого шума через фильтр с колокольной весовой функцией.

Известно, что спектральная плотность пространственного белого шума является величиной постоянной, т. е. (р-, V) = Dx = const. После прохождения сигнала через многомерный фильтр с колокольной весовой функ-4цией, ПЧПФ которого имеет вид

W (in, iv) = exp

Я2 Г

i (lX2-f V2)

спектральная плотность выходного сигнала

2я2 rf

S. (Р-. v) = D3,exp

(П^+Щ

Чтобы найти дисперсию выходного сигнала, необходимо проинтегрировать спектральную плотность:

ðà г 23X2 ,.2

= DJ J exp -L

dixdv-

Dx Pi

2У2 3X3 rf

8.5. ПРОСТРАНСТВЕННО-ЧАСТОТНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ МОДУЛИРУЮЩИХ ДИАФРАГМ, ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

При определении ПЧПФ модулирующих диафрагм их считают линейными звеньями. Условие линейности предполагает, что реакция данного звена на сумму двух или более двумерных сигналов равна сумме реакций на жаждый сигнал в отдельности. Так, если входной сигнал имеет вид

F (у, г) = afi (у, г) + ЪР (у, г),

то выходной сигнал для всех величин о и fc, включая нуль, F (Г), I) = afi (Г), С) + ЬЕ (Г), О.

ПЧПФ модулирующей диафрагмы так же, как и любого многомерного фильтра, определяется прямым преобразованием Фурье функции пропускания т (у, г). Последняя представляет собой ступенчатую функцию коорди- ат:

t (у, г) - 1 - для прозрачных элементов диафрагмы; О - для непрозрачных элементов.

Очевидно,

W (щ, iv) Я т (у, г) к [-2я (р,у -\- vz)] dydz

(8.26)