в декартовой системе координат и R 2л

( е. = I I Р' [-2зхер cos (ф - t)] Рфйф (8.27)

в полярной системе координат.

Во многих случаях решения интегралов (8.26) и (8.27) получаются громоздкими даже при определении одной гармонической составляющей и, кроме того, это решение часто выражается через специальные функции (цилиндрические, гамма-функции и др.), оперировать которыми при спектральном пространственном анализе неудобно. Для модулирующих диафрагм, имеющих периодическую структуру, т. е. при периодическом повторении прозрачных элементов, наиболее удобным является метод определения ПЧПФ с применением отмеченных ранее свойств преобразований. В этом случае определяют преобразование Фурье функции пропускания одного элементарного прозрачного элемента, а затем применением теоремы смещения и принципа суперпозиции находят ПЧПФ всей модулирующей диафрагмы. Так, если преобразование Фурье функции пропускания Tq {у, г) прозрачного элемента, расположенного в начале координат уОг, равно {Щ, iv), а другие прозрачные элементы удалены от нулевого элемента соответственно на пАу и тДг (п = 1, 2, 3, N; т = I, 2, 3, М), то преобразование Фурье функции пропускания пт-то элемента

Wnm (Щ, iv) = Wo (ifx, iv) у. 12я {р.пАу -Ь vmAz)].

где (X н V - пространственные частоты.

Согласно правилу суперпозиции ПЧПФ всей модулирующей диафрагмы определится выражением

N-iм-1

W {щ, \v) = Wo(in, iv) 2 2 XliHii.nAy+vmAz)]. (8.28)

n=0 m = 0

Пример 12. Определить ПЧПФ модулирующей диафрагмы, состоящей из чередующихся прозрачных и непрозрачных полос, равноотстоящих друр от друга (рис. 8.14, а).

Функция пропускания диафрагмы имеет вид:

1 при 1/1< А/2; г| < 6/2; О при 1у\ > AI2; \г\>Ы2.

Преобразование Фурье функции пропускания осесимметричного прозрачного элемента, расположенного в начале координат j/Ог, определится как AI2 ь/2

й7о(ф, tv)= I yl~2n{ixyJf.vz)\dydz = Ab

~.А1Ч --6/2

т( /, г) =

(8.29)

Выражение (8.29) представляет собой модуль комплексной передаточной функции данного прозрачного элемента; каждый последующий прозрачный элемент модулирующей диафрагмы смещен относительно предыдущего по оси Oz на расстояние 2Ь. На основании (8.28) находим ПЧПФ диафрагмы в целом:

W (ip., iv) = Wo (ip.. iv) 2 (2nvm2b) = m=0

= Wo (in. iv) {1 -f К {2nv2b) + y. (2nv4fc) -f ... -f- и [2ny (M - 1) 26]}.

где выражение в фигурных скобках представляет собой геометрическую прогрессию, сумма членов которой

\ - y\2nv(M-i)2b\ sin2nvb(/W-1)

-Г-Д о, S- =---y.\2nvb(M-2)\. (8.30)

\ - y{2nv2b) sin2nv6 л v #

Рис. 8.14. Модулирующая диафрагма с чередующимися прозрачными и иепрозрачнымг полосами (о), модуль ее ПЧПФ (б) и одномерный разрез модуля ПЧПФ (в).

а

С учетом (8.29) и (8.30) находим

1Г (1ц, iv)=Mob

sin 2nvMb sin п\ш

2nvMb

cos nvb

-x[2nvfc(M-2)]. (8.31>

Экспоненциальный множитель указывает на несовпадение начала координат уОг с центром диафрагмы.

Один квадрант модуля ПЧПФ модулирующей диафрагмы с чередующимися прозрачными и непрозрачными полосами изображен на рнс. 8.14, б из рассмотрения которого следует, что в пространственно-частотных координатах максимумы амплитудной пространственно-частотной характеристики диафрагмы расположены вдоль координат оси Ov при значениях v = 0; V=±l/2b и соответственно равны \W (щ, iV)\,Q = МАЬ; J W\щ, iv)l p 1 = 0,6376 МАЬ, что иллюстрируется рис. 8.14.

Максимум в начале пространственно-частотных координат характеризует чувствительность передаточной функции к равномерному распределению лучистого потока по всей плоскости модулирующей диафрагмы. Другие максимумы (при р- = О и v = ± l/2fc) определяют чувствительность передаточной функции к такому распределению лучистого потока, когда край изображения теплового поля расположен параллельно полосам диска.

Для повышения пространственной селекции протяженных фонов с резко выраженными краями необходимо, чтобы передаточная функция модулирующей диафрагмы имела максимумы не по частотным осям Ор. илн Ov, а сдвинутые относительно них на какой-то фазовый угол. Такому требование отвечает модулирующая диафрагма с шахматным располон{ение.м прозрачных и непрозрачных квадратов, размеры каждого из которых соизмеримы с диаметром пятна рассеяния оптической системы.

пример 13. Определить ПЧПФ модулирующей диафрагмы с шахматным расположением равновеликих прозрачных и непрозрачных элементов <рис. 8.15, а). Функция пропускания нулевого прозрачного элемента

1 при 11/1 <о/2; I г|< 6/2;

О при I J/I > а/2; г1>6/2.

т(у, г) =

ПЧПФ элемента представляет собой двумерное преобразование Фурье с/2 ь/2

1Го№, iv) =

2п (ixy+vz)] dy dz = ab

sin пцс sin яцЬ

-5/2 -ь/2

<к является модулем ПЧПФ этого элемента.

Прозрачные элементы по оси Ог смещены относительно нулевого на расстояния 2т6, где m = О, 1, 2, М. Поэтому на основании теоремы смещения преобразование Фурье функции пропускания ряда прозрачных элементов с координатами центров / = О, г - 2тЪ определится по аналогии с (8.31) как

Wi (ijx, \v) = Mba-

sin 2n\Mb 2nvMb

sin пца

пца

cos nvb

iil2nvb{M-l)].

Прозрачные элементы второго ряда смещены относительно первого по оси Oz на величину Ь, а по оси Оу на величину а. Преобразование фурье функции пропускания двух рядов модулирующей диафрагмы запишется в виде

Widix, iv) = lFi(ip,. iv){l-fx[23x(iw+v6)]} =

= Wi (i(x, iv) 2 cos Я, (p,a+vb) к [n (p.a+v6)] =

= 2Mba

sin 2nvMb sin п[ш cos n (p-a-f vfc)

2nvN[b

cos nvb

y. [niia+nvb (2M-f 1)].

Рис. S.I5. Модулирующая диафрагма с шахматным расположением прозрачных и непрозрачных полос (Q), модуль ее ПЧПФ (б) и одномерный разрез модуля ПЧПФ вдоль осн Ю'&, направленной под углом 45° к осям Оц и Ov (а).