Равносторонний треугольник

Обозначения: а- сторона; h - высота; R и г - радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей; Р - периметр; S - площадь.

а = А /, j/З = l,155fi = R l/з = 1,732R = 2 - l/з = 3,463 -;

h = ~]/з = 0,866й = 4 = 1.5 = 3-;

R = у )/з = 0,577а = у/I = 2г;

,=j/3 = 0,289 = = -; Р = За = 2ft /з = 3,463ft = 3R l/з = 5,196R = 6r j/1 = 10,392r; S = J/З = 0,433й^ = у /З = 0,577ft = yJ j/з = = 1,299Л^ = 3 -2/з = 5.196 -2.

Косоугольный треугольник

Обозначения: а, Ь, с - стороны треугольника; а, Р, 7 - противолежащие им углы; R, г - радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей; Р - периметр; р - полу периметр; S-площадь; основные линии треугольника: ft - высота, опущенная на сторону а; Ша - медиана, проведенная через середину стороны а;1 - биссектриса угла а.

Основные соотнощения:

sin а

--= ---= 2R (теорема синусов); sin р sin у

= Р + - 2Ьс cos а (теорема косинусов); а + Ь

а-р

(теорема тангенсов);

S = у flbsin Y = 2J? sin а sin р sin у - rp = \/р(р - d){p-Ь)(р - с).

Дополнительные соотношения:

в sin р .а

tga =--sm =

с - а cos В 2

1(р-Ь)(р-с) be

Основные линии треугольника: feo = Ь sin Y = с sin P; l, =

, a

be COS -

; И1<. = yl/b + + 2bccos a.

Элементы косоугольного треугольника

Формулы для определения неизвестных элементов

а а Р

у = 180° - а - Р; b = Р ;

sina

sina

sin Y

.a-p я-Ь^у a-l-

90° - 4.

Определив a -ь p и a - p, вычисляют a и P;

я sin Y 1 .

c.= -;-; S -CD sin Y

sin a

Формулы для определения неизвестных элементов

а Ь а

-о b sin а

sin Р = --.

а

Если в > Ь, то Р < 90° и имеет лишь одно значение.

Если а<Ь, то р имеет два значения при b sin а < я (Рг = 180° - Pi);

Р имеет одно значение (90°) при bsina = e; треугольник нельзя построить при b sin а > а.

у=180°-а-Р; с = ££Х; S = \abdny sma 2

{р - а){р - Ь){р - с) . г

р 2-р-а

р - b 2

S = rp = \/р{р-а){р-Ь){р-с)

Прямоугольник

Обозначения: а, Ъ - стороны прямоугольника; d - диагональ; R - радиус описанно!! окружности; а, Р - углы между сторонами и диагоналями; Ю1, Юг - углы между диагоналями; Р - периметр; S - площадь.

а = 90° - р = 90° - ; roi = 2Р = 180° - 2а = 180° - Юг;

р = 90° - а = 90° - = ; = 2а = 180° - 2р = 180° - roi;

tga = -; tgp = ; tg =tgP = -f; ,g=tga = -; a b 2 b 2 a

tg a ctg I

-= sin p = <J cos a = /S ctg a =