A7=Ai.

Подставив полученные постоянные в (1.31) и,произведя интегрирование, будем иметь

г =4-{/2 -c7(2f) + A,lnt-\-AJn<± + С„

(1.33)

где С и С, - произвольные постоянные; < = i; +-с^; i=jAnrp-<i; с = ?4<1; а = 5,>1.

В силу принципа соответствия границ функция (1.33) реализует конформное отображение полуплоскости 1га S>0 на внутренность прямолинейного многоугольника Ai, Л2.....As плоскости Z, т. е. на симметричный полосковый волновод с учетом толщины центральной полоски.

Переходим к определению постоянных С и Ci. При £=с, г=Д/2, f=c уравнение (1.33) примет вид:

Д/2 = {с72 - с72 + Л, Ш с + ЛЛ1ПI с -Ь 1 -Ь 61 --lnc-bl-6H-J7t + ln<;-1-6-1п1с- l+<:ll}-4- С, = {ЛИп с - Л Л In 26 4- 1п( 1 + Ь)1 +Л, [In 2fc -1-

+ 1п(1-Ьб)Ц-ртЛ,}4-С.. (1.34)

Имея в виду, что c = i/1-ir>l-6, выражение (1.34) перепишется так:

= Т {(. - 24) 1 п с 4- 2Л, Ш (1 -Ь 6) 4- Р'А^} 4- С-

(1.35)

При 5=-с; z=-Д/2; t=-с имеем *

- Д/2={И, 4.Л,1пс + ЛЛ1п|-с4-1-ЬЬ-]-

- In] - с-Ь 1 -6]+ 1п| - с-1 - Ь| -

j ln]-c-14-b]}-bC,=

{(Л, - 2Л,) In с 4- 2Л, In (1 + 6) 4- ртЛз - >Л} Н- С,.

(1-36)

* Подстаиовкой =0 можно убедиться, что точки плоскости ?. соответствующие точкам А^, А^ в плоскости Z, симметричны относительно 1=0. Это вытекает из известного принципа симметрии Шварца.

Вычитая (1.36) из (1.35), получаем Д = -1(2Л,Л,)Н

2А,

(1.37)

Из (1.35):

С. = Д/2 - {(А, - 2 Л,) In с 4- 2 Л. In (1 4- 6) 4- jitA J.

(1.38)

Задача нахождения параметров сводится к нахождению лишь особых точек Z=li, образы которых служат вершинами многоугольника, расположенного в плоскости г.

Из соображений симметрии следует, что Ь| = Ь|; Ui = l5- Точкам и в соответствуют изоляторы (в этих местах проводящие поверхности симметричного полоскового волновода имеют разрыв). Следовательно, задача определения параметров в нашем случае сводится к нахождению неизвестных постоянных 0=7; с=4.

Неизвестные постоянные а и с, так же как и постоянные С и Ci, определяются из условии решаемой задачи.

Мы будем находить параметры а к с приближенным методом.

В нашем случае исходный интеграл - несобственный с разрывом в точках = ±1. Будем понимать его в смысле главного значения. Переходу точки в плоскости t, от 1=1-р до 1=1 -f-p по бесконечно малой полуокружности радиуса р (при р-*0) соответствует переход точки z на плоскости Z с прямой ЛИб на прямую ЛвЛ, (рис. 1.11,6, в), т. е. произойдет изменение г на d-Д/2.

d Д/2 = lini lZ,p - (1.39)

В точке 1= + 1 претерпевают разрыв только слагаемые, содержащие логарифмическую функцию In {t-1- -b). Поэтому исследуем разрыв только у этой логарифмической функции.

Заметим, что

= 1 4-р4-6(1 4-2р/Ь ) 1 4-р4-64-р/Ь;

После сделанных замечаний исследуем подробнее (1.39)

d - Д/2 = lira[Л, 1п (<-I - 6) , -

Л,1п(*-1-6), р 1-

Подставляя в последнее выражение значения для ц=ц-р и . получаем

d - Д/2 = lira- -4, [1п(Р + Р/Ь) - In(- р - р/Ь)1 =

= lira 4- Л'п (Р + Р/Ь) - jii - In (р + р/6)1 = -]7иЛ,С/4.

(1.40)

Отсюда, имея в виду (1.37), находим

Как было отмечено выше, точное определение параметров а и с весьма затруднительно. Определим главные члены в с^. При этом предполагаем, что h<.d и с^с*.

Выразим постоянные Л, и Л, через параметры с и о, помня, что с = 1 1 - 6 и6 = ]/1-с^:

Лз-2Л1=4-4а22с2-4(1-tf) -f-2c2(l-tf) =--2tfc=.

Л.=2й(1-G=)=2(l -a=)Vr===2(l-tf)(l -c72);

Освободив (1.41) от знаменателя и подставив в полученное выражение значения Л4 и Лз-2Л4, получим

(d-Д/2) (-2tf с=) = 2А (1 -c2/2) (] -tf).

выражении только главные

(1.42)

Оставляя в последнем члены, находим

c2=A(tf-l)/dtf.

Отметим, что тот же результат получим при переходе от прямой Л2Л1 к прямой Л3Л4 в плоскости 2 (рис. 1.11,6, в).

Когда точка 5 обходит точку g= -1 по бесконечно малой полуокружности радиуса о в плоскости соответствующая точка Z в плоскости t должна перейти с прямой Л2Л1 па прямую ЛэЛ4, т. е. функция г(У должна

получить приращение Дг= (d-A/2)-f/(p), где Пр) - комплексная функция, бесконечно малая при р->-0.

Для определения постоянной а рассмотрим соответствие:

Тогда d 4- jft = {tf /2 - c./(2t? ) -Ь Л, In -f-+ Л,1п 1- +

(1.43)

(?~(i-f fc)

Так как С чисто мнимое, см. (1.37), то d = Re Ci=A/2-]яЛ4- С/4.

Итак, сравнение вещественных частей, как и следовало ожидать, ничего нового не дает. Оно служит дополнительной проверкой сделанных ранее выкладок, см. (1.38) и (1.40).

Сравним мнимые части (1.43):

t\ 12 - cV{2i]) -Ь Л, In Л q- Л, in ;Г;Г .

(,-(1-0)

9 Л

-\пс-(М-)--- Лп{\+Ь)-ф. (1.44)

Подставив в (1.37) Лз-2Л4, а вместо (? значение (1.42), получим

С/4=]-Д/(-2огс=л) =Hd/[2n (d?-\) ]. (1.45)

Преобразуем второе слагаемое в (1.44), подставив значения Л4; Лз-2Л4; Ь:

-1пс-(Д/,г):---з^(д/,1)1п(1 4-6) = Alnr- 2)(-- )1п(2-гу2)

=-S2f-2aVInc4-4(l -с72)(1 -a=)ln(2-cV2)].

Ограничиваясь главными членами (считая, что c2<sl) и заменяя в последнем выражении первый множитель значением пз (1.45), имеем

Подставляя полученное выражение в (1.44), нолу-

2я(а - 1)

-2d In 2/,..

(1.46)

Помня, что t, = a + ya - cs:2a~cH2a), находим <*4а'-2с'; t\ ~ (\+Ьу 4{а'- I);

tl~n-bYia-2c\

Подставляя Аз, Ai и последние четыре выражения в (1.46), получаем

2а=-с'4-(4-2с'4а=)Х

27С (a - l)

X In (2а - с7(2а)]4-2 (1 -72) (1 - а') In i?

(1-47)

Считая, как и раньше, что cl, (1.47) можно переписать иначе:

--2м^Т)-{2 + 2 (1 - а=) [Ш 4-I-In (а -1)]}-- 2d In 2,1 =[In (а^--I) - а7(а'- 1)],

йя/=1н(а^1) -1-(а21)-. Обозначая a-\)-=B, получаем окончательно

1пВ-(-В = -(l-f-Air/d). (1.48)

Решая уравнение (1.48) численно при различных h и d, находим а^. Таким образом, в первом приближении все параметры полностью определены. При желании в решении поставленной задачи можно производить уточнения, оставляя члены, содержащие с\

Проанализируем влияние геометрических размеров симметричного полоскового волновода (параметр h, рис. 1.П,б) на распределение поля. Численное решение уравнений (1.42), (1.47), (1.48) и зависимости В = = f(h/d) (рис. 1.12,а), а2 и a = f{h/d) (рис. 1.12,6) и с^= =f(Nd) (рис. 1.12,в) показывают, что при h/d3 (что 44

обычно выполняется в реальных волноводах) влиянием поля на внешних поверхностях базовых пластин можно пренебречь и считать hjd->-со. Однако и в этом случае расчет отображающей функции (1.27) остается достаточно сложным. Для упрощения расчета, в частности, подынтегральной функции в (1.27) заменим сплошную

В

iO QJB 0.6 Hi

ffi Zfi h/d

42 (W o,a a/d e

Рис. 1.12. Зависимость коэффициентов преобразования от геометрических размеров симметричного полоскового волновода.

токонесущую полоску двумя бесконечно тонкими эквипотенциальными пластинами с расстоянием Д между ними 113]. Правомочность такой замены справедлива для полосковых волноводов с центральным проводником на несущем диэлектрическом листе (рис. 1.1,г) и с достаточным приближением экспериментально подтверждается для симметричного волновода со сплошным центральным проводником даже для соотношения Д/Л< 1. С учетом принятых допущений (решаемая задача поясняется рис. 1.13) выражение (1.25) можно записать в виде

(t - Ы1-(? -- У'- (? - -!.) (-

Точке Ai плоскости Z соответствует точка gi=-оо в плоскости £ Аг - li=-1; Лэ-,з=-q; Ai - 4=0; А-1==9; Лб-5б=-И; A7-g7=-f-oo (рис. 1.13,6, в).