на п элементарных витков с поперечным сечением Двц, которые заменим далее контурами, Электрическое состояние каждого контура l<fe<n с длиной Ik и сопротивлением Лга = /л/уД*[1 определяется уравнением на основе второго закона Кирхгофа, а всех контуров - системой из п таких уравнений:

Дг Дг -- iWja

d\k dt

2п

djdn

= e(0;

-+ Л1пз-

(1.16)

dt di

... Н-ДгпДы = е(/),

где Mkm - взаимная индуктивность й-го и т-го контуров, рассчитанная по (1.11).

Представив систему дифференциальных уравнений в форме уравнений Коши (в нормальной форме)

dMj dt dM,

= fi(Mi> Д^2 ... 5 Д п-. 0;

= U{Mt-, Д(2, ... , Mn, t)\

= и{Ми Д(2 ... J Mn-, t)

(1.17)

и решив ее с помощью ЭВМ, определим распределение токов по сечению витка в зависимости от времени Д11(0. Д12(0 Д'л(0> также полный ток 1{1)=ЪМ. Воспользовавшись .(1.15), можно найти собственную индуктивность витка L, которая будет зависеть в общем случае от времени и удельной электрической проводимости материала.

В частном случае, если напряжение источника синусоидально, для решения системы (1.16) можно воспользоваться комплексным методом:

Дг Д/j -f /coMj2 Д/з -f /соЛ/з Д75 -f ... /соМ^ Д/ = Я; /(oyWgj Д/j -f Дг Д/ -f /соЖ^з Д/ + ... + /соЖ2 Д7 ==Я:

(1.18)

Решение системы (1.18) дает распределение тока по сечению

§ 1.3

Зависимость индуктивности от частоты

витка

в полный ток

п п п

(1.19)

(1.20)

где Д и Aftm - определитель системы алгебраических уравнений и его

дополнения, имеющие комплексные значения.

Выделим два случая расчета собственной индуктивности.

1. Все сопротивления Дг равны нулю. Из системы (1.18) видно, что фазы всех токов Д/ одинаковы и равны ф<=фе + п;/2, где ijje -

фаза ЭДС источника. Собственная индуктивность витка по (1.15), с учетом (1.19) и (1.20), условий Miim=Mmh, Mhh=0, а также уело* вия из [4, с. 240]

m=l m=l О. если k ф I

имеет вещественное положительное значение

/ /I n \2

Д

(1.21)

Собственно индуктивность витка не зависит от частоты тока и полностью определяет режим работы витка, что непосредственно следует из сравнения (1.20) и (1.21), т. е. EjaU.

2. Все или часть сопротивлений Дг не равны нулю. Токи А1 имеют разные фазы. Собственная индуктивность витка по (1.15) имеет

комплексное значение, определяемое выражением, совпадающим с (1.21) при п-оо.

В рассматриваемом случае удобнее пользоваться эквивалентной собственной индуктивностью 1эк и эквивалентным активным сопротивлением Гэк-

Мнимая составляющая комплексного сопротивления замкнутого витка

определяет его эквивалентную собственную индуктивность

Lor = - ImZ - - Im ш - ш

(1.22)

(1.23)

а вещественная составляющая - эквивалентное активное сопротивление

Гак = Re 2 =Re

где P - мощность потерь в витке.

Аналогичный вывод можно сделать и для взаимной индуктивности двух замкнутых витков, определяемой по (1.12).

При наличии потерь энергии в витках их взаимная индуктивность имеет комплексное значение. В этом случае удобнее ввести эквивалентные параметры витков. Например, если в первом витке на рис. 1.4 включен источник синусоидальной ЭДС Ей эквивалентные параметры определяются системой уравнений на основе законов Кирхго-фа и баланса мощности:

/ 1 \

\ft=l

P2 = Re(/coM3 /2/;)=r2,/2,

где Г13К, / гэк и Lian, LaaK - эквивалентные активные сопротивления и собственные индуктивности первого и второго витков; Мэк -эквивалентная взаимная индуктивность витков; Рь Рг - активные мощности потерь в первом и втором витках; /1,2 - токи витков, определяемые системой уравнений, аналогичной (1.18), Д/лсп, А/к(2). Дг),(1) и Дг/1(2)-*токи и сопротивления элементарных витков.

k-l /

/i\p{lJb

(1.25)