§ 1.7 Расчет индуктивных параметров на ЭВМ 27

Система уравнений (1.18) и выражения (1.22)-(1.24) позволяют рассчитать собственную индуктивность и активное сопротивление витка.

Решение системы линейных уравнений типа (1.18) на ЭВМ обычно осуществляется либо методом исключения, либо итерационным. При решении системы уравнений, размерность которой велика (сотни уравнений), последний метод имеет заметные преимущества. Во-первых, если число итераций, необходимое для достижения заданной точности, меньше п, то для решения системы уравнений итерационным методом требуется меньшее число арифметических операций и, следовательно, меньшее машинное время. Во-вторых, погрешности округления, которые всегда имеются при расчетах на ЭВМ, в итерационном методе меньше и равны погрешностям округления одной итерации. Это обстоятельство очень часто оказывается существенным.

Однако при использовании итерационного метода необходимо обеспечить, во-первых, его сходимость и, во-вторых, сходимость к истинному, а не ложному решению системы уравнений. В частности, отметим, что итерационный процесс решения системы уравнений, записанный в виде

Arft Длй -* Ark

где й-номер уравнения в системе (1.18); р -номер текущей итерации, будет расходиться при угловых частотах со, для которых не бу-

п

дут выполняться условия сходимости Д/-/1>й) 2 при всех k.

Для того чтобы итерационный процесс сходился в возможно более широком диапазоне угловых частот со, преобразуем систему уравнений (1.18): добавим в k-e уравнение (й=1, 2, ...п) и вычтем из него выражение

Тогда (1.31) можно записать в виде

Mj) = /со-51М-ду(р) .,

...-/ --А/1Л +

Aft + ZW S hm m+k

2 Mkn

тфк

Mk + /и 2 ftm

m+fe

. (1.32)

mi-k

Можно показать, что итерационный процесс, описываемый (1.32), при достаточно большом числе элементарных замкнутых витков сходится к истинному решению системы уравнений (1.18) при любой угловой частоте со. Для этого прибавим к каждому уравнению системы

п

5(1.18) К^-му уравнению) и вычтем из него выражение Д юа 2 a >

тфк

где k=l, 2.....п. Тогда эту систему можно преобразовать к следующему виду:

(1.33)

где = 7®

а 2 hm

тфк

Дгй + /иа 2 hm

тфк

п

&ги + /соа 2 тфк

Е

- .1 I .ттш I-

Дгл + /ша 2 hm

тфк

а - ускоряющий множитель.

Запишем для краткости (1.33) в матричной форме:

II Ч II = 11 d II II Ч II + II ДII,

(1.34)

где [Д/ - матрица-столбец токов в элементарных контурах, на которые разбит исследуемый виток; 1Л|-матрица размерностью п/п\ 11В|1-матрица-столбец.

С помощью выражения (1.34) запишем итерационный процесс

§ 1.7

Расчет индуктивных параметров на ЭВМ

в следующем виде:

ill* =lldIllhZ ~ +1 ё. \

(1.35)

где р - номер итерации.

Если в качестве нулевой итерации, т. е. (р-1)=0, принять

I О

(0)

то для р-й итерации получим

(1.36)

где mil - единичная матрица размерностью их ; 1И11, 1111, .ч .... [ИН- -матрица М1 в 1, 2, (р-1)-й степени.

Выражение в квадратных скобках представляет собой сумму р членов геометрической прогрессии, первый член и коэффициент которой соответственно равны II11! и С учетом этого для р-й итерации имеем

(Р)

Ihll-

В

(1.37)

Из ;(1.37) видно, что итерационный процесс будет сходиться, если

р

(1.38)

где IJOll - нулевая матрица размерности п/п.

Предел, к которому стремится последовательность ЦДЛИ , равен

А II 1-

1 II-

В

(1.39)

и представляет собой решение системы уравнений (1.18).

Из физического смысла коэффициентов матрицы 1М| видно, что

при большом числе элементарных контуров и определенном выборе ускоряющего множителя а

т. е. сходимость итерационного процесса будет обеспечена, причем скорость сходимости при удачном выборе множителя а будет обеспечена достаточно высокая.

Таким образом, итерационный процесс (1.35) при выполнении условия (1.38) сходится и сходится к истинному решению системы уравнений (1.18) со скоростью, зависящей от подбора ускоряющего множителя а.

Пример 1.6. На рис. 1.15, а изображено поперечное сечение одного из медных проводников симметричной двухпроводной линии со сложной формой поперечного сечения. Второй проводник линии относительно плоскости симметрии дг=0 на рисунке не показан. Рассчитать индуктивность двухпроводной линии длиной 1 м для угловой частоты (в=2.10с-.