нельзя получить одну из другой, а поскольку мы рас-

сматриваем связанные линии или с неоднородным в поперечном сечении диэлектриком, нли СПЛ с разной физической длиной в области электромагнитной связи.

Запишем систему уравнений, позволяющую найти напряжения и токи в сечении х, если известны напряжения и токи в точке х=0:

Uix) /2W

i/,(0 /.(0)

/2(0)

.5.3)

В системе (1.5.3) коэффициенты распространения быстрой и медленной волн находятся по формуле

Vi.2 = (aii+a22±V(aii-a22)+4ai2a2i) , (1.5.4)

где aij - элементы матрицы a=ZY.

Матрица нормированных амплитуд в (1.5.3) определяется следующим образом [38]:

(1.5.5)

В (1.5.5) коэффициенты, характеризующие отношения амплитуд напряжений быстрой и медленной волн во второй линии к амплитудам напряжений в первой линии, и проводимости Yie, Y20 находятся нз следующих выражений:

* .o = (vi.2 -а )/а,2; (1.5.6)

Yie = {Yu+keYi2)/yu У.О = (У. ,4*o>,2)/V2;

У2* = (>l2+**>22)/Vl, У20 = (>l2 + *o>22)/V2. (1.5.7)

Вычислив Am и повторив процедуру определения матрицы а, запишем ее элементы для СПЛ:

On = озз = ш (-*ochvi/ + *,chv2/);

ai2 - Щз = w (chyi/ - chv2/); a,3 = и (->2oshvi/+K2 shv2/); flu = 23 = Ы (Iloshyi/->i shv2/); a2i = азА =kk w{-chy il +chy 2l);

a22 = = Ш (* chvi/-*oChv2/); (1.5.8)

024 = и (*,KoShV/ -*olleSh72/);

031 = w i-koYteshyil+keYioshyil);

032 = 04I = Ш (Kishvi/-УюзНуг/);

042 = W (K2 ShV/ - K20ShV2/).

где wike- k r\ и = (К.оУг. - YuY2x>)-. (1.5.9)

Формулы (1.5.4), (1.5.6)-(1.5.8) позволяют прн известных первичных параметрах построить достаточно общие математические модели устройств на связанных полосковых (микрополосковых) линиях, не прибегая к общим и емким программам. Это дает возможность в ряде случаев реализовать расчет устройств на мини-ЭВМ в условиях дефицита оперативной памяти не только прн решении задач анализа, но и синтеза через процедуры так называемого параметрического синтеза.

1.6. Трехпроводные связанные полосковые линии

Трехпроводные СПЛ находят применение для создания управляемых и неуправляемых устройств. Расчет их параметров требует построения классических и волновых матриц с учетом потерь и неуравновешенности электромагнитной связи. Естественно, что обращение к формулам, приведенным ранее для п-проводных СПЛ, дает возможность рассчитать матричные параметры. Однако во многих случаях анализ и вычислительные процедуры оказывается более рациональным построить на основе формул, полученных для случаев л=3. Этим могут быть достигнуты экономия памяти ЭВМ, вполне обозримая наглядность результата и, что очень важно, приоткрывается путь к синтезу устройств.

Предположим, что мы нашли спектр собственных значений матрицы а, т. е. определили yi. V2, уз. Эта задача может быть решена, в частности, отысканием корней кубического уравнения [54]. Тогда из выражения (1.3.7) для л=3 получим амплитуды напряжений во 2-й и 3-й линиях:

Лг = (агзаз! - (азз-У^) 21) Л| ;

Лз = (аз2а21 - (а22-у )аз) Л|; (1.6.1)

А = (а22-у^) (азз-у^) - гзазг-

Аналогичным путем из (1.3.8) определяем амплитуды токов:

= т- {о.з20.\з - ( 33-У^) 12) В\;

Вз = (°2за12 - (а22-у^) а^) Bi.

(1.6.2)

Матрица нормированных амплитуд Am для трехпроводной системы запишется через матрицы А^ и А, следующей структуры:

(1.6.3)

Элементы матриц А^ и А, находятся из выражений (1.6.1) и (1.6.2) и рассчитываются по формулам:

*25 = (агзаз! - (азз-V?) 21); *35 = Y ( 32021 - (а22-V?) аз);

П12% ~ ( 320113 - (йзз - Ys) °l2);

mss = (a23ai2 - (022-Y?) а|з).

(1.6.4)

где Ys - коэффициент распространения s-й моды (s=l, 2, 3).

Проводимости У1, У2, У'з определяются из связи между амплитудами токов и напряжений (см. п. 1.3):

У, =(У11+*21У12+з1У1з)/у1;

Кг = (>ll + *22K22 + *32Kl3)/Y2; (1.6.5)

>3 = (>.. + *23>l2+*33>l3)/Y3.

Обозначим обращаемые матрицы

А„- = с. А= d.

С учетом введенных обозначений элементы матрицы а трехпроводной СПЛ запишутся следующим образом:

Он = Очч = 2 cnche,;

012 = 054= 2 c,2ch9,;

О22 023 = О31 = Озг =

= 064 = 2 Ci3ch9,;

ai5 O16

1= 3

: 045 = 2 *2iC<ich9i; 1=1

: 055 = 2 *2iC,-2chei; < 1

065 = 2 *2iCi3che,; 1=1

046 = 2 *3/C<ich9,;

i=i 3

056 = 2 fe3jCi2ch9i;

: Обб = 2 /fe3iCi3ch9,; 1=1

- 2 d sh9,; 1=1

= 024 = 2 d,2sh9/; 1=1 3

= O34 = 2 di3sh9,; 1=1

O25 = 2 *2<<i:2sh9,;

= 035 = 2 *2/d<3sh9,;

О36 = 2 *3idi3sh9,; 3

O41 = 2 Ciish9iK(;

042 = 051 =2 c,2sh9,y,;

043 = Об1 = 2 c,3sh9jK,;

(1.6.6)

052 = 2 m2iCi2shQiYi;

053 = об2 = 2 тийззНе.К,;

<-I

обз = 2 muCisshQiYi.

В формулах (1.6.6) внутренний индекс суммирования /=1. 2, 3; е, = у^ (5 = /= 1, 2, 3).

1.7. п-проводные линии с периодической симметрией*

Конструкции МСПЛ с планарным расположением проводников на подложке характеризуются слабой связью несоседних полосок, поэтому матрица С близка к трехдиагональной [65]. Матрица L, которую в отсутствие магнитного заполнения можно определить через матрицу С линии с однородным заполнением, вообще говоря, не будет трехдиагональной, однако значения ее элементов убывают от главной диагонали тем быстрее, чем меньше отношение \Сои+\/Сои\ = т. Как показывает расчет, при т^О.З взаимные индуктивные коэффициенты убывают быстрее, чем в 1/т раз. Запишем матрицу LC в виде суммы трехдиагональной LC и остаточной В матриц

LC = LC + В =

a-d b d b a b

0 ... d ...

+ B, (1.7.1)

0 0 0 0 ... a-d где L и С выделены как трехдиагональные матрицы:

Lll Lx2 О L\2 Lll Li2 О Li2 Lll

0 0 0 ... Ll

о = LiiCii - 2L12C12; b = CL2-C12L11; d = -Ci2Li2-Представление матрицы LC в форме (1.7.1) дает возможность в отсутствие потерь в МСПЛ приближенно методом возмущений вычислить собственные значения (коэффициенты распространения) и собственные векторы А„ и А, МСПЛ.

Матрица LC симметричная, ее собственные значения записываются следующим образом [66, 67]:

X, = V? = о-2dH-2 cos <fs {b+2d cos ф.). (1.7.2)

ф5 = sn/{n-\-l), s = 1, 2, 3, .... n.

Для нахождения матрицы собственных векторов А^ можно использовать ранее описанный алгоритм или формулы работы [67]. Свойства матриц (1.7.1) позволяют для уточнения X, применить метод возмущений [68], если в качестве невозмущенного состояния принимается линия, описываемая матрицей LC.

Более точный расчет производится переходом к возмущенному состоянию и учетом поправок 1-го, 2-го и т. д. порядков приближений. Поправки первого приближения

(1.7.3)

где As - собственный вектор.

В выражениях (1.7.3) использованы собственные векторы, приведенные к единичной длине.

Таким образом, решение полной проблемы собственных значений матрицы LC, а с ним и определение параметров п-проводной линии, сводится к использованию несложных аналитических выражений (1.7.2), (1.7.3).

* Данный параграф подготовлен прн непосредственном участии И. М. Вершинина [65].