Дифференциальные операторы в квадратных скобках (1.16) относятся к экспоненциальной функции, стоящей общим множителем за фигурными скобками.

Для расчета магнитных полей от электрических токов определяются компоненты тензора Ггь

df{z,z)

t L

dg{z,z)

dz дхду df(z, z)

dz ду дх dg(z,z) д

+ Ь^х

dz дх дх dg(z, z)

7 У /2

dz дх дх dgjz.z)

g{z.z)

dfjz, z)

dz dydy

dfjz, z) d -dydx

--a,a

zу

-g{z. z)

+ aa

f{z,z)

dy \

f{z,z)=

V{z<,zVAz>,z,-.{) \

ywjxK (Z )

П Tr.

+ a,a,.0

ехр{-У£(х-д;)-п(у-у')}$- (1

Функции Г22 и Г12 получаются из (1.16) и (1.17) путем взаим-где ных перестановок г, g{z, z) 7 f(z, z).

Отсутствие компонентов тензоров Т21: zz и Г12:гг подтверждает разложение функции Грина по волнам Е и Н относительно оси г.

Взаимодействие полей между слоями диэлектрика описывается характеристическими частями функций Грина - g{z, z) для волн типа Е и /(г, z) для волн типа Н. Эти функции являются рещением неоднородных обыкновенных уравнений:

дЦ(г, z)/dz+yf(z, z)=.6(z-z), a2g(z, z)/az2+Y2g(z, e)=6(z-z)

(1.18)

giz,z) = .(<.p)M>.-) rf,

= cos у (z - Zp) + J Y [Zp) sin Tp (2 - ZpM Y, Vp = cos Tp (z - Zp-i) - JV (zp i) sin -ip (z - г^.,)/ Y, /;= r(z)cos Yp(2- z) +yysin7p(2-7p = (Zp) cos If (z - zp ,) - уТ- sin Tp (г - Zp ,).

(1.19) (1.20)

(1.21)

Проводимости Y{z ) и (z ) пересчитываются к сечениям z при граничных условиях f(z, z)=ag(z, z)/az=0 на проводящихрекуррентным формулам от крайних слева и справа областей:

поверхностях, условиях излучения для открытых ооластеи и уело- г г г

ВИЯХ непрерывностей на границах раздела диэлектриков. уе.нг )с\р- d -\-lY-

Для рещения (1.18), которые являются уравнениями типа Y {z)=Y- p-U ё ip ~гУ р

Штурма-Лиувиля, используются известные методы [29]. Для од- уе.н^р., j jjye.h

породных областей решения уравнений (I.I8) приведены в р р р

Для слоистых структур (см. рис. 1.1) рещения уравнений (1.18)

имеют вид: 16

(1.22)

2-1157

где

Возможно комбинированное использование, например, токовых функций в (1.20), слева - в форме (1.21), справа - в форме

Р (1 23)

Число сомножителей под знаком произведения в Так как элементом многих печатных конструкций является П 20) равно числу слоев диэлектрика, P f~; слой диэлектрика над проводящим экраном (рис. 1.2), то выпи-

точками источников и наблюдений. Сомножители имею! вид. составляющие функций f{z,

r.csCT d , г') и g(z, г') для этого случая:

rf- =7-=l.

yg.csc тЛ

r.(0) = yrf-ctg7.rf+r2*

z<z!.

Диэлектрическая проницаемость ер в знаменателе функции g(z, z) берется для области точек наблюдения z. Сечение относительно которого записывается Y=Y+Y в знаменателе функ ции fug берется тем же, относительно которого происходит запись функции I{z) и 1(2). Если 2 и z находятся в одной обла сти или смежных областях, то Т^- =1 и сечения Zp и г^-, берутся одними и теми же, равными границе раздела смежных об

- sin 7i jz + d) sin-f,a

l/j == COS Tf2Z + - ctg Tf,rf- sin ъ^, У2 = ехр(-/Г22),

sin iz,

С

£ COSTi(Zj-

ластей.

Ппепставления (1.21) удобны для ограниченных по толщиш слоЙдиэлек областей (крайние оГ.

ласти открыть^ систем) удобнее пользоваться представлением и Л включающим коэффициенты отражения от границы раздел, диэлектриков:

sin-(,d

7i = rf cos Ti2 - yTfsin -(,zi, 4 = -/Tf ctgr,rf-cos T2Z + />2 sin 721. 7j= rf exp (-Утг^).

Рис. 1.2. Слой диэлектрика иа металлическом экране:

/ - слой диэлектрика; 2 - свободное пространство

где

где

Vp = - I ехр {УТр {Z - Zp)} + f ехр {- h, -

1 -j- Преимуществом описанного здесь подхода к построению функ-

ции Грина является его универсальность. Выражения (1.19), [ехр {-уТр(2:--2:р )} + Г^ ехр {/Тр(2; - 2:р 1)}), (1.20) совместно с (1.21) решают задачу возбуждения областей

1 ря с произвольным числом слоев, что дает возможность, в частности,

моделировать неоднородные (вдоль оси z) диэлектрические струк-г 2X lpvn!/- (Z -z )} - Г^ехр{-уЧрСг -гр)}1. туры. Пересчеты по рекуррентным формулам типа (1.22) позво-=;-ieApvipv P/J р ляют строить экономичные вычислительные алгоритмы. Однако

использованный подход имеет и недостаток. Функции f{z, z\ \, х\)

1 гя / fz Z )11 (1 23* 5. т]) имеют особые точки типа полюсов и точек ветвле-

/ - - [ ехр {- УТр - pii~p expuTpl p-u/Ь V ния на плоскости волновых чисел \, т], что служит причиной до- - полнительных трудностей при численной реализации электроди-

намических задач для слоистых сред.

1 + Г^

ря, я ., Р--

к^.Я4.к^.я(2р)

rf- -К^-(2:р-1)

f £. Я - £--

Р Ff.-b K- (Zp ,)

1.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЛН LE, LM

Другое представление функции Грина связано с разложением

Для слоя, неогра слева, Г^-==0.

f£ Я п и<пгпяниченног системам векторных собственных функций типа (1.15), когда ничейного справа, Г^- =0, неограниченно у^ преимуществ по сравнению с

разложением по волнам Е и Н для однородных областей, такой

подход может оказаться весьма полезным при описании волновых явлений Б областях, содержащих слоистый диэлектрик [29, 41]

В этом случае собственные ортонормированные функции записываются для неоднородного поперечного сечения области, а истокообразная часть функции Грина связана с осью z, ориентированной вдоль границы раздела сред. Рещение для тензоров Грина в общем впде при таком подходе возможно, когда характеристическая часть определена относительно оси вдоль границы раздела слоев диэлектрика (ось z), диэлектрическая проницаемость г{х) которых меняется скачком от слоя к слою.

Полнота и ортогональность собственных функций при разложении по волнам LE, LM следуют из теории разложения по соб (ственным функциям рещения задачи типа Штурма - Лиувилля Этот вопрос достаточно освещен в [29], включая сингулярные случаи, поэтому здесь не рассматривается.

Ниже записаны выражения для тензорных функций Грина областей, ограниченных в плоскости поперечного сечения {хоу) Разложение имеет вид двойного ряда. Необходимые модификацщ. в записи функции для открытых областей будут приведены в дальнейшем.

Итак, для функции, связывающей электрическое поле с электрическим током:

(1) ду 1 д

Функции X и являются ортонормированными собственными функциями двумерных скалярных уравнений:

V2X {X, у)-f {k Y х„ {X, у) = 0.

Vimn {X, У) + (КгппУ Ршп {. У) = 0.

Для расчета магнитных полей от электрических токов определяют компоненты тензора:

т, п

-х„ (р)х; (р')

Г2,(г, г') =2

+ а^а.

т, п

ж у

х„ (р)х; (р')/

+ + +

.лр)~- ; (р')й-1

+ aj,a

х„Лр)х; (р') -

КГ дхду

+ а^а.

Ч.х.лр)х; (р')

-f а.а

у у

+ а,а.

дх ду

1 д- I \ * I 1\

1 д

--ii-X (p)X . ду

хх; (р')/

1 д

+ а,а

2 У

х-1р):7х; (г/)/-

(ftl)2 ду - дхду

{к>[Г ду dz

х. (р)х

<x; (p)f

+ а,ау

кЧЮ' dx

х, (р)х

dx dzdz

(1.25)

Функции Г22 и Г12 получают из (1.24) и (1.25) пут^м взаимных замен: X\F, gf, в. При записи функции Г12 знак следует сменить на противоположный.

Характеристическая часть функций Грина является решением неоднородных обыкновенных уравнений (1.18). Для некоторых видов интервалов по г решения приведены в табл. 1.1.