Глава 2

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

2.01. Введение

в этой главе Представлена сводка некоторых важных понятий н соотношений теории цепей, полезных при анализе фильтров. Хотя большинст.ву специалистов, по-видимому, знажом изложенный здесь материал, однако для удобства ссылок целесообразно было сгруппировать его в одиом месте. Кроме того, несомиеиио для некоторых читателей отдельные вопросы жвятся новыми. В таких случаях проведенное рассмотрение их будет служить кратким введением, необходимым для понимания книги.

2.02. Комплексная чвстота, полюсы и нули

Синусоидальное напряжение

e(t)=\EJcos{<s,t+q,) (2.02.1)

может быть также записано в ином виде

e(0 = Re(£ e °).

(2.02.2)

где (- время, сек;

м - круговая частота, рад/сек;

Ет=\Е, ] е' -комплексная амплитуда напряжения.

Величина Ет связана с действующим значением напряжения с помощью известного соотношения E=EmJ р 2. Синусоидальные колебания или волиы являются частным случаем более общей формы функциональной зависимости, для которой далее использован термин волновая форма (wave form):

e(t)=\EJe c<s{e,t+<f)

e(;)=Rel£ eP]. - 26 -

(2.02.3) (2.02.4/

В этом случае переменная

p=o-fira (2.02.5)

является комплексной частотой и колебание (волновая форма) может быть экспоненциальной функцией ) (рис. 2.02.1а); синусоидальным, с амплитудой, затухающей по экспоненте (рис. 2.02.16), .или чисто синусоидальным, если р=т.

Рис. 2.02.1. Формы имебаннй в цепи: а - при р=а+10; 6 - при р=а+1(й и о<0

При рассмотрении линейных цепей с постоянными (независящими от времени) параметрами, таких как в этой книге, представление колейаяий волновым-и формами с комш1ексны.ми частотами имеет фундаментальное значение. Преимущество такого представления перед другими возможными формами зап.иои коле-5ательно1ГО про,цесса обусловлено следуюшим.и свойствами линейных цепей с постоянными параметрами:

1. В установившемся режиме реакция цепи) на приложенное к цепи возбуждение (ток или наррижение) частоты р в любом ее участке будет иметь форму, аналогичную форме возбуждающего колебания с тем же значением комплексной частоты р. Ам.плиту-да .и фаза колебания будут, в общем случае, различными в разных участках цепи. Однако как амплитуда, так и фаза реакции цепи будут линейными функциями соответственно амплитуды .и фазы возбуждения.

М Вырожденное колебание (прим, ред.).

2) Еслн не оговорено обратное, то под термином цепь будет подразумеваться линейная цепь с постоянными лараМетрами.

2. Собственные колебания (моды) цепи будут волновыми формами с комплексными частотами (под собственными колебаниями цепи, как известно, понимаются колебания тока н наиряжения, существующие в цени после отключения источников возбуждения).

Понятия входной и передаточной функций следуют из первого свойства, так как обе функции характеризуют ссой отнош.ения комплексных ампл.итуд возбуждения и реакции цепи. Следствием второго свойства является то, что переходная характеристика цепи представляется в виде суперпозиции волновых форм собственных колебании цепи с комплексны.ми частотами.

Входное сопротивление цеип в функо^ии комплексной частоты может быть .представлено ак

Z(p)-=.= - + - +

(2.02.6)

С помощью разложения числителя и знаменателя на множители это выражение может быть записано иначе;

(Р-Pi) (Р-Рз) (Р -Р )

Pi) {p-pp-pi)

(2.02.7)

На частотах p=pi, рз, рь я т. д., на которых полином числителя обращается в нуль, входное сопротивление paaiHO нулю. Эти ча.стоты называются нулями данной функции. На частотах р -Рг, Pi, Ре и т. д., на которых полином знаменателя равен нулю, функция входного сопротивления обра1щается в бесконечность; эти частоты называются полюсами данной функция. Полюсы и нули передаточной функции определяются аналогичным образом.

Цепь с конечным числом сосредоточенных реактивных элементов будет иметь конечное число полюсов и нулей. Однако цепь, содержащая элементы с распределенными параметрами (которые могут быть представлены в виде бесконечного числа бесконечно малых сосредоточенных элементов), будет обладать бесконечным числом полюсов и нулей.

Таким образом, цепи, содержащие лин.ни передачи, имеют трансцендентную функцию входного сопротивления. Эта функция, иредставленная в форме выражения (2.02.7), обладает бесконечным числом множителей. Например, входное сопротивление ко-роткозамкнутой линии нередачп без потерь, длиной в 1/4 волны, на частоте шо может быть записано в следующем виде:

,2ft - П (р-Ь124И|,) (р -i2AM )

7 [p--i(2*-l)<o l[p-l(2ft-l) ol

: (2.02.8)

где Z -волновое сопротивление линии. Следовательно, эта цепь имеет полюсы на частотах p=±i{2k-1)ш|, и нули пои р=0 и p = ±i2fto)o, где А-1,2,3, оо.

Использование более общего понятия комплексной частотной переменной р=о--ио вместо ограниченной в определенном смысла Переменной iw расширяет рамкн теории цепей. Входные и передаточные функции становятся прн этом функциями комплексной переменной (т. е. функциями ко.мллексной частоты p=o+iw) и к ним может быть применен мощный аппарат теории функций комплексной переменной.

Очень удобным в таком сл учае становится исследование свойств входных и передаточных функций по расположению их полюсов и нулей в плоскосш комплексной частоты или р-плос-кости.

На рис. 2.02.2а показано раоположеиие полюсов и нулей (обозначенных соответственно крестиками и кружочками) функции вход-(ного сопротивления короткозамкнутого отрезка линии без .потерь, предсгарленной выражением 2.02.8, а на рис. 2.02.26 - примерный ход ее амплитудной характеристики при р=1ш. На рисунках показано также влияние потерь: все полюса и нули при этом смещаются влево от оси ieo, и функция Z(i(o) становится более оглаженной.

Понятия комплексной частоты., полюсов и нулей весьма полезны при исследовании пеней и широко используются в литературе

Рис. 2.02.2. функадя в.\одного сопротивления Z(p) ксроткозаикнутой линии, четвертьволновой при р=1ыо: а - распределение .полюсов н нулей фуни-днп; о-частотная завнснмость модуля функции.

/ - линия без потерь: г - линия с потерями

но анализу и синтезу цепей [1-б]. Кроме того, полюсы и нули позволяют воспользоваться методом электростатической аналогии, иа основе которого модуль и -фаза входной или передаточной функции соответствуют потенциалу .и потоку в электростаЛческой задаче.

Этот метод важен и как инструмент для математического исследования, и как способ для иепосредствениото измерения модуля и фазы (на аналоговом устройстве). Некоторые из перечисленных вопросов изложены в работах [2, 3, 6, 7]. Дальнейшее применение понятий комплексной частоты, полюсов и нулей будет рассмотрено в следующих двух параграфах.

- 29 -

2.03. Собственные колебания и их связь с

входного сопротивления

и нулями

Собственные лли свободные типы колебаний ueinn - суть коле бания токов и игтряженнй в цепи с комплексными частотами, возникающие при возмущениях цепи. Они могут продолжаться даже после того, как все возбуждающие сигналы обратились в нуль. Следует заметить, что здесь термин колебание учитывает как апериодические изменения токов и напряжений, т. е. при р=о, так и затухающие синусоидальные изменения, т. е. при p=o+ito.

Предположим, что входное сопротивление депи задано функцией

(2.03.1)

Из выражения (2.03.1) следует, что

E=IZ(p). (2.03.2)

Если входные зажимы рассматриваемой цепи разомкнуты я в ней имеются собственные колебания, соответствующие одной из собственных частот, то на солротивлеиии Z(p) окажется иапря-жеиие комплексной частоты, даже если /=0, Из выражения (2.03.2) следует, что напряжение Е не будет равняться нулю при /=0 только в том случае, когда Z(p) равно бесконечности. Таким образом, если входное сапротивление цепи Z(p} разомкнуто (разомкнуты входные зажимы цепи), то собственные колебания цепи соответствуют частотам рг, pi, ps и т. д., которые являются полюсами функции зтого входного сопротивления. Совершенно аналогично можно показать, что если входные зажимы цепи замкнуты накоротко, то частоты собственных колебаний цепи будут соответствовать нулям Z(p).

Возбуждение собственного катебания в любом участке цепи всегда приводит к тому, что оно будет наблюдаться во всей цепи (исключение составляют особые случаи, когда одно или несколько собственных колебаний ограничены определенными участками цени). Частота pn=07i-~iM,i каждого собственного колебания должна лежать в левой половине комплексной плоскости ли иа оси 1ю. Если бы это было не так, то амплитуда и энергия колебаний возрастали бы по экспоненте, что невозможно в пассивной цепи. Так как при разомкнутой и замкнутой накоротко цепи полюсы и нули функции входного сопротивления являются частотами собственных колебаний цепи, то любое сопротивление пассивной цепи имеет все полюсы н нули в левой полуплоскости и на оси ito.

2.04. Основные свойства передаточных функций

Определил функцию передачи напряжения или функцию ослабления по напряжению (voltage attenuation function) Eg/Ei. для цопи на рис. 2.04.1 в следующей форме: - 30 -

е(Р-Pi) (Р-Р>) (Р-Р.) -(Р-Р^ (Р -Рд) (Р-Р.)

(2,04.1)

где с - вещественная постоянная и р - комплексная частотная переменная. Теперь кратко сформулируем некоторые основные

Линейная цепь

I .

Рнс. 2.04.1. К определению функции передачи напряжения линейной цещн с постоянньжи пара-метрами

свойства линейных па.ссивиых цепей, используя обозначения, указанные на рисунке, и передаточную функцию приведенной цепи;

/. Нули функции Т(р), т. е. Pi, рз, рз являются частотами собственных колебаний этой цепи. Они зависят от всех ее элементов, включая нагрузки, так что если, например, величина Rs или Rl изменилась, изменятся и частоты всех собственных колебаний,

2. Полюсы -функции Т(р}, т. е. рг, pt, pt вместе с полюсами на частотах р=0 и р=оо (если они есть) являются частотами бесконечного затухания или полюсами затухаиия. Они зависят только от элементов самой цеяи и не изменятся при изменении Rg или Ri.. За исключением некоторых особых (вырожденных) случаев, два четырехтолюсника, соединенные каскадно, будут иметь результирующую характеристику передачей с полюсами затухания, соответствующими обоим составляющим четырехполюсникам.

3. В лестничной схеме полюс затуханич возникает, когда последовательная ветвь обладает бесконечным сопротивлением или когда параллельная ветвь обладает нулевым сопротивлением. Если на данной частоте соиротивления последовательных ветвей обращаются в бесконечность и одновремеиив равны нулю сопротивления параллельных ветвей, то полюс затухания будет уже высшего порядка (кратный полюс).

4. В цепях, где имеются два или более параллельных канала передачи, полюсы затухания соответствуют частотам, на которых амплитудные л фазовые соотношения на выходе параллельных кана-лов таковы, что сигналы взаимно компенсируются. Это имеет место, например, в мостовых с-хема.х, в мостовых Т-образных схемах и в структурах с лараллельным включением лестничных схем.

5. Частоты собственных колебаний [нули функции Т(рУ\ должны лежать в левой половине р-плоскости (или на оси ioi, если отсутствуют потери)-