=Ло+)Х. из выражений (2.11.17), (2.11.14) и (2.11.9) получаем

.(2.11.18)

Постоянную Rh легко вычислить, используя соотношение

(211.19)

на одной из частот, для которой известно, что оба сопротивления Za И Zb вещественны.

Фильгры-прототипы нижних частот с чебышевской и максимально плоской характеристиками, величины элементов которых приведены в таб.т. 4.05.1 и 4.05.2, являются симметричными при нечетном числе реактивных элементов и антиметричным.и прн четном числе реактивных элементов. Ступенчатые трансформаторы, рассматриваемые в гл. 6, являются еще одним примером антимет-ричных цепей.

2.12. Коэффициенты матрицы рассеяния

В книге изредка будут использоваться коэффициенты матрицы рассеяния. Определение этих коэффициентов обычно целиком основывается на вол'новой точке зрения. Однако для дальнейшего изложения материала достаточно определить их, .исходя из ранее рассмотренных понятий.

Характеристика любого линейного четырехполюсника с нагрузками может быть описана с помощью четырех коэффициентов рассеяния Sn, S,2, S21, S22. Бели обратиться к четьррехполюснику иа рис. 2.11.1, то Sii = ri и 522=Г2, т. е. они являются просто коэффициентами отражения на зажимах /-/ и 2-2, определяемыми выражениями (2.11.10) и (2.11.11). Коэффициент рассеяния S21 . равен коэффициенту передачи t при передаче от зажимов 1-1 к зажимам 2-2, который определен выражениями (2.10.5) и (2.10.6). Коэффициент рассеяния 5,2 по аналогии является коэффициентом передачи t от зажимов 2-2 к зажимам 1-Конечно, если четырехполюсник взаимный, то 5,2=52,. Соотношения в § 2.11, использующие величины t. Г, и Г2, естественно, применимы и для t=Si2=S2i, ri=5ii и Г2=522 соответсгвенно.

Таким образом, для четырехполюсников коэффициенты рассеяния являются коэффициентами отражения и коэффициентами передачи, рассмотренными в §§ 2.10 и 2.11. Однако коэффициенты .рассеяния могут быть введены не только для четыремполюсника, но и для 2п-полюсиика. Например, для шестиполюсиика будут девять коэффициентов рассеяния, которые могут быть записаны в матричной форме:

5и 5,2 5i3 (Sl= 521 S22 S23 . (2.12.1)

5з1 5эа 5за - 48 -

Для 2гг-.палюсника будет п' ко9фф.ициентов (п - число пар зажимов многополюсника). В общем случае для любой цепи .с активными нагрузкамп коэффициенты рассеяния с одинаковыми индексами вида

= =-11 (2.12.2)

являются коэффициентами отражения от /-го плеча, т. е. коэффициентами отражения между входным сопротивлением (Zi )j у-го плеча и подключенной к нему нагрузкой Rj. Для других .коэффициентов рассеяния, по аналогии с выражениями (2.10.5) и (2.10.6), получим

(2-12.3)

;=Т}(> (2-2-4)

Здесь Ej является напряжением, создаваемым на нагрузке /-го плеча генератором напряжении (Eg)h с внутренним сопротивлением Rk, который подключен к к-ш плечу. При определении коэффициентов рассеяния по ф-лам (2.12.2) -(2.12.4) предполагается, что каждое плечо 2п-полюс .ика нагружено на соответствующую ему нагрузку Rj

Если 2/г-.полюсник взаимный, то

Srt=Sa. (2.12.5)

Из выражений (2.11.9) и (2.11.12) для взаимного четырехшолюс-ника без потерь получим:

1 = 5и|=-Ц5цР; (2.12.6)

5и| = 522 (2.12.7)

Sis - 21-

(2.12,8)

Аналогичное соотношение для взаимного 2л-1полюсника без потерь имеет вид

[7] = [5Г[51, (2.12.9)

где [5] - .иатрица рассеяния 2п-полюсника [например, выражение (2.12.1) для случая п=3];

[5]* - та же матрица, но имеющая комнлексио-сопряженные коэффициенты;

[/] - единичная матрица пнго порядка. Так как по предположению цепь являегся взаимной, то выполняется соотношение (2.12.5) и матрица [5] симметрична относительно главной диагонали.

Для любой цепи с активными нагрузками

Sm If

Pi

(2.12.10)

где Я, -мощность, подводимая к нагрузке Rj в у'-м плече; (Pm)h - максимальная мощность генератора, подключенного к *-му плечу. В соотнетствин с выражением (2.11.4) затухание в децибелах при передаче нз *-го плеча в /-е (при условии, что все плечи нагружены на соответствующие им нагрузки) равно

Ел = 201g

(2.12.11)

Более детальные сведения о коэффициентах рассеяния можно найти в работе [9].

2.13. Анализ леетничяых схем

Цепи лестничной структуры часто используются при проектировании фильтров. Примером таких цепей являются фильтры-прототипы нижних частот, которые рассматриваются в гл. 4. При определении характеристик лестничных цепей особенно удобным оказывается метод анализа, описанный ниже.

Следуя этому методу, вначале нужно охарактеризовать каждую последовательную ветвь ее сопротивлением и током, который протекает через эту ветвь, и каждую параллельную ветвь ее про-зоди иостью и напряжением, которое приложено к данной ветви.

Рис. 2.13.1. Цепь лестгшчного типа

Это показано на рис. 2.13.1. Затем, пользуясь обобщенными символами, обозначим:

f(,-последовательное сопротивление или параллельная проводимость *-й ветви; (2.13.1) f/b - ток для последовательной или напряжение

для параллельной ft-й ветви; (2.13.2)

- 60 -

Vm - ток для последовательной или напряжение

для параллельной ветви, крайней оправа; (2.13.3)

fo - ток или напряжение генератора слева. (2.13.4)

В общем случае, есяя 1-я ветвь параллельная, то и„ должно быть током генератора с бесконечным внутренним сопротивлением; есл)* 1-я ветвь последовательная, то (/о должно бьггь напряжением генератора с нулевым внутренним сопротивлением. Тогда для всех случаев имеем'-

Am = f A +t- Ar,-l =fm~lA + Am+t =

Л=£И --1+Аи-2 =

Ai=FiA, + A,=

(2.13.5)

-Ipln ФУ Ц я передачи от генератора, располо-

женного в левой части цепи, к т-й ветви справа Обозначив теперь через (Fi ), входное сопротивление цепи, лежащей опрам Ztl Т ос-едовательная, или соответствую

щую входную проводимость, если *-я ветвь параллельная получим

(2.13.6)

Чтобы проиллюстрировать эту методику, рассмотрим случай, соответствующий схеме иа рис. 2.13.1. Для нее т=4, и, в соответствии с соотношениями (2.13.S), имеем;

Таким образом, Л, есть функция передачи между £о и £<- Сопротивление {Z,n)i и проводимость (Угп) , показэН'Ные на рисунке, равны соответственно:

Литература

l.Guillemin Е. А. Introductory Circuit Tlieory (John Wiley and Sons \e№ York City, J953).

2. Guillemin E. Л. Synthesis ot Passive Networks (John Wiley and Sons. .\ew York City. 1937).

3. Tuttle D. F. Jr.. Network Synthesis, Vol. 1 (John Wiley and Sons. New

York City, 1958).

4. Van Valkenhurg M. E. Network Anal>sis (Prentice-Hall. Inc., New York City, 1955).

5. К u n E. S- and P e d e г s о n D. O. Principles oi Circuit Svnthesis (McGraw-Hill Bokk Co. Inc.. New York City, 1959).

6. Hansen W. W. and Liindstrom O. C. Experimental Determination of Impedance Functions bv the Use of an Electrolvilc Tank. Proc. IRE, .43, pp. 528-534 (August 1943).

7 Scoti R. E. Network Synthesis by the Use oi Potential Analogs. Proc. IRE, 40, pp. 970-973 (August 1952).

8. .Viatthaei G. L. Some Simplifications for .Analysis of Linear Circuits, IRE Trans, on Circuit Thcorv, CT-4, pp. 120-124 (September 1957).

9. Ca r 1 i n H. J- The Scattering Matrix in Network Theory, IRE Trans, on Circuit Theory, CT-3 pp. 88-97 (June 1956).

Глава 3

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ФИЛЬТРОВ

- 52 -

3.01. Введение

Несмотря на то. что .метод характеристичесл<их параметров подробно че рассматривается в книге, читателям необходимо его зиать, чтобы понять методику расчета некоторых фильтров. В этой главе излагаются основы данного метода; приводятся физические понятия и наиболее важные соотношения. Выводы будут д.аны только рдли нескольких уравнений; в списке литературы yj<a-эаны работы, рВ которых метод характеристических параметров изложен более: подробно.

3.02. Физическое н математическое определение характеристического сопротнБлеиия и характеристической постоянной передачи

.Метод характеристических параметров для а.нал.иза цепей является волновым методом, очень сходныМ с волновым методом, который обычно используется при рассмотрении передающих линий. Так, для однородной лиини передачи волновое сопротивление Ливии будет также ее характеристическим сопротивлением, и если YI - коэффициент распространения на единицу длины, то ytl будет характеристической постоянной передачи для линии длиной (. Однако термины характеристическое сопротивление и характеристическая постоянная передачи имеют значительно более общее значение, чем их определение для однородной лпнии передачи.

Рассмотрим четырехполюсник, который ради общности взят несимметричным с различными сопрротивлениями со сюр.о ы зажимов / и 2. На рис. 3.02.1 показан случай бесконечной цепочки из таких одинаковых четырехполихников, причем их одноименные зажимы соединены вместе. Так как цепочка из четырехполюсников стремится к бесконечности и в том, и в другом направлениях, то справа и слева от соединения зажимов / будет сопротивление Z , тогда как для зажимов 2 - сопротивление 2,г. Сопротивления Zi, и Zj2, показанные на рисунке, являются характеристи-

- 53 -