Вектор скачка моментов ДМ, имеет k-й порядок. Ненулевые элементы вектора (AM/)m= (-АМ/)п относятся к т-му и п-му роторам, соединенным жесткой связью.

Вектор возмущающих крутящих моментов

q(x, t) = [qax, t), qix, t), qk{x, t)]\ (5.21)

где qi{x, t)=Mi(t)/li - распределенный no длине h ротора i момент, полученный из расчета электромагнитных моментов, возникающих во всех роторах криостата при переходных процессах. .

Согласно [5.6] возмущающий крутящий момент Mi{t) рассчитывается как сумма электромагнитных моментов, обусловленных взаимодействием тока г-го ротора и электромагнитных полей остальных роторов и статора. Сумма всех возмущающих крутящих моментов Mi{t), действующих на отдельные роторы, равна возмущающему моменту k

Mc{t)= Mi{t), действующему на весь криостат в це-

лом и на статор КЭМ.

Для решения системы уравнений (5.15) используем метод разложения по формам собственных колебаний [5.4]. Решение имеет вид

q)(.v, 0=2ФЛ-)аЛ0. (5.22)

п = 1

где

Ф„(л;) = [Ф„1(д;), Фп2{х), ... .... Фт{х), Фпи{х)У; (5.23)

Фя/(х)-собственная п-я форма колебаний t-ro ротора;

-число учитываемых форм колебаний; an{t)-неизвестные функции времени, соответствующие п-й форме собственных колебаний системы соосных роторов.

Собственные формы колебаний удовлетворяют системе однородных уравнений (5.15), в которых q=0, В=0, и всем граничным условиям. Для собственных форм колебаний справедливы условия ортогональности [5.4]

ф;аф йл:=0, 5фтСФ йл:==0, (т^п) (5.24)

и формула Релея

- о /о

(5.25)

где L-длина, одинаковая для всех соосных роторов; соп- собственная п-я частота крутильных колебаний системы соосных роторов.

Подставив (5.22)! в (5.15) и требуя ортогональности полученного вектора к вектору базисных функций Ф (х) (процедура метода Бубнова-Галеркина), после необходимых преобразований с, использованием соотношений (5.24) и (5.25) получим систему уравнений для неизвестных функций времени an{t)\

аЛО+< (0 + У]й„та.() =-f Q (0

m = I

(й-1,2.....iV,). (5.26)

Здесь обозначено:

L k г L

fi =f(AO )-0 dx;=Il а/()Ф /( )йх;+2.-/Ф (/)

о (=l[o /

Qnit)= { q{x, t)0,{x)dxY. J,(. )Ф /( ) .

(5.27)

Система (5.26) в общем случае является связанной из-за наличия диссипативных сил, но если коэффициенты T]i=Ti2=Ti, уравнения системы (5.26) разделяются [Ьпт= =0 {пфт), bnn=r\r?] и решение каждого из уравнений может быть представлено в виде интеграла Дюамеля:

Q {х) sin ш„ {t - х) dx, (5.28)

где

В общем случае решение системы (5.26), а также общее решение задачи (5.22) при заданном векторе возмущающих моментов q можно получить методом численного интегрирования с использованием ЭВМ.

Необходимое число форм колебаний выбирается на основе анализа общего решения (5.22) и влияния на него высших форм колебаний.

кроме (5.22) можно получить решение для скручивающих моментов, действующих в каждом сечении всех роторов.

(5.29)

n=.l

где Мп{х)-собственная п-я форма скручивающего момента при крутильных колебаниях системы соосных роторов, которую находят одновременно с собственной формой угла закручивания.

5.3.2. Определение собственных частот и форм крутильных колебаний

Собственные частоты и формы крутильных колебаний можно найти из решения системы однородных уравнений (5.15) методом начальных параметров подобно определению частот и форм изгибных колебаний. При этом входящие в рекуррентную формулу (5.4) вектор V и матрицы D и G имеют вид (5.5), однако составляющие этих векторов и матриц -блоки Vj- D,- и О,-- записываются в форме, характерной для крутильных колебаний [5.7]:

м

if cos Я

sin Я

COS я

О

sin Я

(5.30)

где фг/ и Mi; - угол закручивания и скручивающий момент в /-М сечении г-го ротора; Л,/ -массовый момент инерции, сосредоточенный в /-м сечении i-ro ротора; Gh; и /;/ - крутильная жесткость и длина /-го участка г-го ротора. Для параметра справедливо соотношение

V=-(Pao)2/G/)/;, (5.31)

где а -погонный массовый момент инерции /-го участка г-го ротора.

Если расчетная схема представляет собой дискретную систему, в которой все массовые моменты инерции сосредоточены в узлах, а участки принимаются безмассовыми, то

1 -

О

(5.32)

Входящая в (5.4) блочная матрица S узла с сосредоточенной упругой связью между роторами подобна матрице для изгибных колебаний, но имеет вдвое меньший порядок, как и все матрицы, определяющие крутильные колебания. Блоки, характеризующие роторы, не связанные с опорой, имеют вид единичной матрицы второго порядка, если они являются диагональными, а в остальных случаях эти блоки равны нулевой матрице. Блоки, характеризующие упруго связанные между собой к-й и /-Й роторы, имеют вид

7/

- Ski

(5.33)

Наличие жесткой связи между роторами в точке А-(см. рис. 5.2) учитывается скачком скручивающего момента на неизвестное приращение АМа, воздействующего на оба связанных ротора. Как следствие в рекуррентной формуле (5.4) для точки Л происходит скачок вектора дефор'-мированного состояния на вектор AVa порядка 2k с ненулевыми блоками, характеризующими связанные между собой k-v. и /-Й роторы:

(ДУл), = -(ДГл),- . (5.34)

Жесткая связь между роторами характеризуется кроме АМа еще равенством углов закручивания k-то и /-го роторов в точке А:

Mk=i4>A)i. (5.35)

Следовательно, при крутильных колебаниях каждая жесткая связь между роторами приводит к возникновению дополнительных неизвестого и уравнения.

Далее, как и для изгибных колебаний, по (5.9) получаются векторы деформированного состояния непосредственно слева и справа от точки А установки жесткой связи, по (5.11) находится вектор Vна правом конце системы роторов. С использованием граничных условий и условий связи (5.35) составляется однородная система aflre6paH4et ских уравнений относительно неизвестных начальных параметров и неизвестных скачков скручивающего момента. Из решения этой системы находят собственные частоты соп крутильных колебаний н соответствующие им собственные формы колебаний угла закручивания Фп(х) И скручивающего момента Мп{х).

В качестве примера запишем граничные условия, условия связи и разрешающий определитель (й) в случае системы трех соосных роторов с одной жесткой связью между первым и вторым роторам и со свободными концами всех роторов; , i

а) граничные условия

(7Wo),= (Mjv),=0 {1=1 2, 3);

б) условие связи ((Рл)1=(Фа)2;

в) условие нахождения собственных частот

w w

(5.36)

4?(<o) =

(Pn-pli) {р\з-рк) (A-Л) 0

= 0.

(5.37)

Здесь Wii, phi и р2(/- элементы матриц W, Hi и Пг из (5.11).

Порядок определителя (5.37) (fti + a) зависит от числа ki соосных роторов и числа ki жестких связей между ними.

В задаче крутильных колебаний также можно предварительно исключить часть неизвестных и получить для (<и) порядок ki [5.2].

5.3.3. Пример расчета Применение описанного метода расчета иллюстрируем на примере исследования крутильных колебаний криостата генератора мощностью 200 кВт при симметричном и несимметричном внезапных коротких замыканиях из предшествующего режима холостого хода.

Рис. 5.5. Схема криостата с тремя соосиыми роторами (а) и формы крутильных колебаний (б-г):

б -при 0)1=629 с-; в - при (u2=37II с-; г - при й)з=7189 с-

На расчетной схеме криостата (рис. 5.5,а) обозначено: 1 - внутренний вал, 2 - ротор со сверхпроводииковой обмоткой, 3 - наружный корпус криостата, 4 - турбина.

Расположенный между 2 и 3 тепловой экран, состоящий из двух частей, учитывался с помощью сосредоточенных на вайу / в точках С и £ масс с эквивалентным моментом инерции. Действующий иа

экран возмущающий крутящий момент также прикладывался к валу / в точках С и £.

В расчетной схеме учитываются две жесткие связи: вала / с ротором 2 в точке lO н с корпусом 3 в точке F. Жесткость упругой связи 5=3,6-10 Нм/рад соответствует жесткости на кручение мембраны, соединяющей 1 н 3 в точке В.

Собственные формы крутильных колебаний угла закручивания ротором криостата при первых трех собственных частотах coi, toj, з показаны на рнс. 5.5,6-г. Кривые 1-3 соответствуют номерам роторов на схеме рис. 5.5,а.

Низшая частота (Oi=629,4 с- определяется жесткостью участка АВ вала 1 между криостатом н турбиной. Остальные, более жесткие роторы колеблются при низких возбуждающих частотах как единое твердое тело. Поэтому низкочастотная составляющая полного возмущающего крутящего момента Мс действует на участок АВ независимо от того, к какому из роторов приложен Мс. Участок АВ имеет наименьшее сеченне и определяет прочность всего криостата.

Высшие формы колебаний отличаются от низших не обязательно увеличенным числом узлов, как в одноосном роторе. Для Ws, 0)з характерно повышение потенциальной энергии деформации всей системы соосных роторов прн обязательном выполнении условий ортогональности (5.24).

Рассматривались различные схемные варианты исполнения экранов.

1а) Экран, выполняющий одновременно функции теплового и электромагнитного экранов, расположен в холодной зоне и изготовлен из сплава AMF.

16) Экран с теми же функциями расположен также в холодной зоне, но выполнен из меди.

2а) Электромагнитный экран из меди жестко укреплен на тепловом корпусе 3, тепловой экран из сплава АМГ размещен в холодной зоне согласно схеме рис. 5.5,а.

26) То же с упругим закреплением электромагнитного экрана на корпусе.

Для этих вариантов на графиках рис. 5.6 показаны зависимости от времени относительных расчетных значений для возмущающих крутящих моментов yi=Mi{t)/Миош (i=l, 2, 3) и уо=Мс/Мноу., действующих на отдельные соосные роторы и криостат в целом (или на статор) при внезапных коротких замыканиях якоря (трехфазном симметричном и двухфазном на нейтраль) и для соответствующих мощностей тепловых потерь в экранах pi= =Pi(t)/Рном. В качестве нормирующих делителей приняты номинальные крутящий момент Мном и мощность Рно генератора.