Из формулы

следует, что непериодическую функцию / (дс) можно рассматривать как непрерывную сумму экспоненциальных функций с частотами от -оо до -\-оо. Амплитуда составляющей на любой частоте пропорционально g (iu), поэтому g (iu) является спектром функции / (х) и называется функцией спектральной плотности. Спектр непериодической функции изображают в виде непрерывной кривой, а не в виде дискретных точек или линий и называют сплошным.

Преобразование Фурье позволяет представлять данный сигнал экспоненциальными составляющими. Функция g (iu) - прямое преобразование Фурье сигнала / (л) характеризует относительные амплитуды различных частотных составляющих, т. е. представляет сигнал f (х) в частотной области. В общем случае функция f (х) комплексна и для ее представления необходимы графики амплитудного g (и) и фазового (и) спектров. Однако во многих случаях g (iu) - либо действительная, либо мнимая функция, и поэтому ее представление ограничивают одним графиком спектра.

Из формулы преобразования Фурье следует, что оно существует, если иное

теграл J f (х) У. (-2пих) dx имеет конечное значение. Так как модуль

-оо

у. (-2пих) равен единице, то условие существования преобразования Фурье

функции / (х) состоит в том, что интеграл / (х) \ dx имеет конечное значе-

ние. Это условие является достаточным, но необходимым. Такие функции, как синус, косинус, единичный скачок и др., не удовлетворяют упомянутому условию и, строго говоря, не имеют преобразования Фурье. Однако в пределе и для этих функций преобразование Фурье существует [10, 14].

Для двумерной непериодической функции / (х, у) преобразования Фурье выражают следующими зависимостями*:

g (iu, iv) = fj I (X, у) e- + ) dx dyi t (X. y)= fl g (iu. iv) 2 ( + °*) du dv

- oo

Из основного определения (8 6) преобразования Фурье вытекает ряд теорем, которые широко используют при решении задач пространственной фильтрации 1,3, 10, 14].

1. Теорема линейности.

Ф Wi (X. у) + bf; (X, у)] = аФ [/, (X. {/.)! + ЬФ [/а (х. у)],

т. е. преобразование Фурье суммы двух функций равно сумме их преобразований.

2. Теорема подобия. Если Ф [/ (X, у)] = g (iu, iv), то

ф[П-..)] = е(.- .if).

т. е. растяжение координат в пространственной области (х, у) приводит к сокращению координат в области частот (и, v) и к изменению общей амплитуды спектра.

* Когда выше или ниже символа двойного интеграла указывается только один предел интегрирования, то этот предел относится к интегрированию по обеим переменным.

3. Теоремасмещения. Если Ф [f (х, у)] = g (1м, iv), то

Фи [х - а, у - Ь)\g (iu, iv) и {-2паи - 2nbv),

т. е. смещение функции в пространственной области вызывает линейный фазовый слвиг в области частот.

4. Теорема Парсеваля. Если Ф [/ (х, у) - g (iu, id), то

J J I t {X. У) P dxdy= J J I g (iu, iv) P du dv.

5. Теорема свертки.

Если Ф [fl (X, у)] = gi (iu, iv) и Ф [/a (x, y)] = ga (iu, iv). то

Ф [/l (X, y) h (X, y)] = JJ g, ( - f - t/) г ga ( , t) dudv.

T. e. преобразование Фурье произведения двух функций /j {х, у) . fa (х, у) выражается через преобразования gj (iu, iv), и ga (iu, iv) при помощи операции интегрирования, называемой сверткой функций g, и ga.

В частотном анализе теорема свертки является одной из важных. Напомним, что свертку двух данных функций (Q и /а (t) определяют интегралом

f( = l h (т)/а (t - X) dl.

который символически записывают в виде / (t) =- fi (t) /а (t). По аналогии с алгеброй перемножения выводят следующие законы алгебры свертки:

коммутативный закон

fl (О * /2 С) = /2 (О * /i (0;

дистрибутивный закон

/i (О . [/г (О + /з (01 =

= Л (О * /2 (О + 1 (О * /з (0;

Рис. 8.6. Графическое представление операции свертки.

ассоциативный закон

fl (D * U2 (О * 8 (01 = Ui (О f2 (01 * /3 (0. Для графической иллюстрации операции свертки предположим, что функция /1 (О имеет вид прямоугольника, а (О-треугольника (рис. 8.6, в). Найдем графически свертку этих функций. По определению

/1 (0*/ (О =Т Л (т)/= (t-x)d-z. -00

Здесь т - независимая переменная.

Функции fl (т) и /2 (-т) изображены на рис. 8.6, б. График функции /2 ( - г) для t = /1 представляет собой функцию f (-т), сдвинутую в положительном направлении оси на величину / = <i (рис. 8.6, в). Свертка функ-ций^1(0 и/а (О для t - ti определяется площадью под кривой(т) 2(1-т). Эта площадь заштрихована на рис. 8.6, г и отложена в виде пунктирной линии на рис. 8.6, д. Аналогично находят значения свертки для различных t. В результате получают график, показанный на рис. 8.6, д. Свертка функции f (О с единичной функцией дает саму функцию / (t), т. е.

/(0*6(0 = 1 / (Об (<-T)dt=/(0. -00

Преобразования Фурье некоторых функций представлены в табл. 8.1, а в табл. 8.2 и 8.3 приведены значения функций sine х - sin пхп х и 2/t (г)/г, необходимые для вычисления преобразований Фурье [10, 14]. Напомним, что функцию Бесселя первого порядка /j (г) определяют соотношением

If г гз

li{z)=- \ cos (г sin ф-ф)йф=-г -

Л I

при больших значениях г

16 384

18432

Функцию Бесселя ну.певого порядка выражают формулой

cos (г cos ф) йф = 1-

64 2304

при больших значениях г

/о (г)

функции /i (г) и /д (г) связаны между собой соотношением

f 1\ (г)

d2 = l-[/e (n)-f/?( )].